《数字图像处理》第三版笔记（七）快速傅立叶变换

学习进行到此处，发现程序性能越来越差，本书竟然没提到傅立叶变化还有快速变化改进方法。下边我就介绍下快速变换的原理以及程序实现。

1、FFT的由来

  离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是数字信号处理最重要的基石之一，也是对信号进行分析和处理时最常用的工具之一。在200多年前法国数学家、物理学家傅里叶提出后来以他名字命名的傅里叶级数之后，用DFT这个工具来分析信号就已经为人们所知。历史上最伟大的数学家之一。
  欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y = f(x)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。给出了一个用实变量函数表示傅立叶级数系数的方程；  用三角级数来描述离散声音在弹性媒介中传播，发现某些函数可以通过余弦函数之和来表达。但在很长时间内，这种分析方法并没有引起更多的重视，最主要的原因在于这种方法运算量比较大。直到1965年，Cooley和Tukey在《计算机科学》发表著名的《机器计算傅立叶级数的一种算法》论文，FFT才开始大规模应用。
那个年代，有个肯尼迪总统科学咨询委员会。其中有项研究主题是，对苏联核测试进行检测，Tukey就是其中一员。美国/苏联核测试提案的批准，主要取决于不实地访问核测试设施而做出检测的方法的发展。其中一个想法是，分析离海岸的地震计情况，这种计算需要快速算法来计算DFT。其它应用是国家安全，如用声学探测远距离的核潜艇。所以在军事上，迫切需要一种快速的傅立叶变换算法，这也促进了FFT的正式提出。
FFT的这种方法充分利用了DFT运算中的对称性和周期性，从而将DFT运算量从N2减少到N*log2N。当N比较小时，FFT优势并不明显。但当N大于32开始，点数越大，FFT对运算量的改善越明显。比如当N为1024时，FFT的运算效率比DFT提高了100倍。在库利和图基提出的FFT算法中，其基本原理是先将一个N点时域序列的DFT分解为N个1点序列的DFT，然后将这样计算出来的N个1点序列DFT的结果进行组合，得到最初的N点时域序列的DFT值。实际上，这种基本的思想很早就由德国伟大的数学家高斯提出过，在某种情况下，天文学计算（也是现在FFT应用的领域之一）与等距观察的有限集中的行星轨道的内插值有关。由于当时计算都是靠手工，所以产生一种快速算法的迫切需要。而且，更少的计算量同时也代表着错误的机会更少，正确性更高。高斯发现，一个富氏级数有宽度N=N1*N2，可以分成几个部分。计算N2子样本DFT的N1长度和N1子样本DFT的N2长度。只是由于当时尚欠东风——计算机还没发明。在20世纪60年代，伴随着计算机的发展和成熟，库利和图基的成果掀起了数字信号处理的革命，因而FFT发明者的桂冠才落在他们头上。
   之后，桑德（G.Sand）-图基等快速算法相继出现，几经改进，很快形成了一套高效运算方法，这就是现在的快速傅立叶变换（FFT）。这种算法使DFT的运算效率提高1到2个数量级，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了良好的条件，大大推进了数学信号处理技术。1984年，法国的杜哈梅（P.Dohamel）和霍尔曼（H.Hollamann）提出的分裂基块快速算法，使运算效率进一步提高。
库利和图基的FFT算法的最基本运算为蝶形运算，每个蝶形运算包括两个输入点，因而也称为基-2算法。在这之后，又有一些新的算法，进一步提高了FFT的运算效率，比如基-4算法，分裂基算法等。这些新算法对FFT运算效率的提高一般在50%以内，远远不如FFT对DFT运算的提高幅度。从这个意义上说，FFT算法是里程碑式的。可以说，正是计算机技术的发展和FFT的出现，才使得数字信号处理迎来了一个崭新的时代。除了运算效率的大幅度提高外，FFT还大大降低了DFT运算带来的累计量化误差，这点常为人们所忽略。

2、直接计算DFT的问题及改进路径

2.1 问题的提出

设有限长序列x(n)，非零值长度为N，若对x(n)进行一次DFT运行，共需要多大的运算工作量。

2.2 DFT的运算量

DFT和IDFT的变换式：

注意：

由上面的结算可得DFT的计算量如下：

复数乘法的计算量：(a+jb)(c+jd)=(ab-bd)+j(bc+ad)

下面通过两个实例来说明计算量：
例一：计算一个N点DFT，共需次复乘。以做一次复乘1计算，若N=4096，所需时间为

例二：石油勘探，有24个通道的记录，每通道波形记录长度为5秒，若每秒抽样500点/秒。
1. 每道总抽样点数：500*5 = 2500点。
2. 24道总抽样点数：24*2500=6万点。
3. DFT复乘运算时间：

由于计算量大，且要求相当大的内存，难以实现实时处理，限制了DFT的应用，人们一直在寻求一种能提高DFT运算速度的方法。
FFT便是Cooley和Tukey在1995年提出来的快速算法，它可以使运算速度提高几百倍，从而使数字信号处理成为一个新兴的应用学科。

3、改善DFT运算效率的基本途径
1、利用DFT运算的系数的固有对称性和周期性，改善DFT的运算效率。
1）对称性
2）周期性
3）可约性

2、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT的思路
因为DFT的运算量与N2成正比，如果一个大点数N的DFT能分解为若干小点数DFT的组合，则显然可以达到减少运算工作量的效果。

FFT算法的基本思想：
  Ø 利用DFT系数的特性，合并DFT运算中的某些项。
  Ø 把长序列DFTà短序列DFT，从而减少运算量。

FFT算法分类：
时间抽选法
   DIT: Decimation-In-Time
频率抽选法
   DIF: Decimation-In-Frequency

4 按时间抽选的基2-FFT算法

4.1 算法原理

设输入序列长度为（M为正整数），将该序列按时间顺序的奇偶分解为越来越短的子序列，称为基2按时间抽取的FFT算法。也称为Coolkey-Tukey算法。
其中基2表示：，M为整数。若不满足这个条件，可以人为地加上若干零值（加零补长）使其达到。

4.2 算法步骤

Ø 分组，变量置换

先将x(n)按n的奇偶分为两组，作变量置换：
当n = 偶数时，令n = 2r；
当n = 奇数时，令n = 2r+1；
得到：
x(2r)=x1(r)
x(2r+1)=x2(r) r = 0,……-1
Ø 分组，变量置换

其中k = 0， 1，…. N/2 – 1。到此时为止，似乎没什么用，不过是拆成2部分算，计算量其实是一样的。那么我们再利用系数的周期特性来看看。

又考虑到的对称性：

有了上面的计算结果后。我们可以看出，只要算出X1,X2和Wnk的值，就可以一次算出2个数，即X（K）和X（N/2+K）的值，这不就优化了吗？

我们可以得到如下的蝶形运算流图符号：

关于这个蝶形运算流图符号说明如下：
1. 1个蝶形运算需要1次复乘，2次复加。
2. 左边两路为输入。
3. 右边两路为输出。
4. 中间以一个小圆表示加减运算（右上路为相加输出，右下路为相减输出）。

分解后的运算量

运算量减少了近一半。
例子：求点FFT变化。按N=8àN/2=4，做4点的DFT，先将N=8点的DFT分解成2个4点的DFT:
可知：  时域上 x(0)，x(2)，x(4)，x(6)为偶子序列。
            x(1)，x(3)，x(5)，x(7)为奇子序列。
      频域上  X(0) 到X(3) 由X(k)给出
            X(4) 到X(7) 由X(k+N/2)给出
N=8点的直接DFT的计算量为：

得到和需要：