谓词逻辑
三段论
A:大前提，B：小前提，C：结论，
A , B ⇒ C A,B\Rightarrow C A,B⇒C
的推理是有效的但是却无法使用命题逻辑论证
谓词公式
命题与命题函数，命题与命题函数的表达
金 子 闪 光 ， 但 闪 光 的 不 一 定 都 是 金 子 \tiny 金子闪光，但闪光的不一定都是金子 金子闪光，但闪光的不一定都是金子
令 G ( x ) : x 是 金 子 ， F ( x ) : x 闪 光 命 题 表 达 为 ∀ x ( G ( x ) → F ( x ) ) ∧ ∃ x ( ¬ G ( x ) ∧ F ( x ) ) 或 ∀ x ( G ( x ) → F ( x ) ) ∧ ¬ ∀ x ( F ( x ) → G ( x ) ) \tiny 令G(x):x是金子，F(x):x闪光\\ 命题表达为\forall x(G(x) \rightarrow F(x))\wedge \exists x(\neg G(x) \wedge F(x))或 \forall x(G(x) \rightarrow F(x))\wedge \neg\forall x( F(x) \rightarrow G(x)) 令G(x):x是金子，F(x):x闪光命题表达为∀x(G(x)→F(x))∧∃x(¬G(x)∧F(x))或∀x(G(x)→F(x))∧¬∀x(F(x)→G(x))
谓词公式的赋值
谓词公式的永真式：给谓词公式付任何值，公式的值都为真，如I(x)V¬I(x)
谓词公式的等价
对 于 谓 词 公 式 A , B ， 如 果 A ⟷ B 是 永 真 式 ， 记 作 A ⟺ B 对于谓词公式A,B，如果A \longleftrightarrow B是永真式，记作A \Longleftrightarrow B 对于谓词公式A,B，如果A⟷B是永真式，记作A⟺B
谓词公式的永真蕴含式
对 于 谓 词 公 式 A , B ， 如 果 A → B 是 永 真 式 ， 记 作 A ⇒ B 对于谓词公式A,B，如果A \rightarrow B是永真式，记作A \Rightarrow B 对于谓词公式A,B，如果A→B是永真式，记作A⇒B
只 要 不 牵 涉 到 量 词 的 运 算 ， 命 题 逻 辑 中 的 等 价 公 式 与 重 言 蕴 含 公 式 均 可 推 广 到 谓 词 逻 辑 中 \color{red} 只要不牵涉到量词的运算，命题逻辑中的等价公式与重言蕴含公式均可推广到谓词逻辑中 只要不牵涉到量词的运算，命题逻辑中的等价公式与重言蕴含公式均可推广到谓词逻辑中
谓词公式中量词的消去与转换
有限论域消去量词
如 论 域 D = { 1 , 2 , 3 } ∀ x A ( x ) ⇔ A ( 1 ) ∧ A ( 2 ) ∧ A ( 3 ) ∃ x A ( x ) ⇔ A ( 1 ) ∨ A ( 2 ) ∨ A ( 3 ) 如论域D=\{ 1,2,3\} \\ \forall xA(x) \Leftrightarrow A(1) \wedge A(2) \wedge A(3) \\ \exist x A(x) \Leftrightarrow A(1) \vee A(2) \vee A(3) \\ 如论域D={ 1,2,3}∀xA(x)⇔A(1)∧A(2)∧A(3)∃xA(x)⇔A(1)∨A(2)∨A(3)
量词转换
“ 并 非 所 有 的 x 具 有 性 质 A ” 与 “ 存 在 x 没 有 性 质 A ” 是 同 一 个 意 思 : ¬ ∀ x A ( x ) ⇔ ∃ x ¬ A ( x ) “并非所有的x具有性质A”与“存在x没有性质A”是同一个意思:\neg \forall xA(x) \Leftrightarrow \exists x \neg A(x) “并非所有的x具有性质A”与“存在x没有性质A”是同一个意思:¬∀xA(x)⇔∃x¬A(x)
量词辖域的扩充与收缩
不 受 量 词 约 束 的 部 分 可 以 添 加 或 消 除 到 量 词 的 辖 域 1. ∀ x A ( x ) ∨ B < − − > ∀ x ( A ( x ) ∨ B ) 2. ∀ x A ( x ) ∧ B < − − > ∀ x ( A ( x ) ∧ B ) 3. ∃ x A ( x ) ∨ B < − − > ∃ x ( A ( x ) ∨ B ) 4. ∃ x A ( x ) ∧ B < − − > ∃ x ( A ( x ) ∧ B ) 不受量词约束的部分可以添加或消除到量词的辖域\\ 1.\forall x A(x)\vee B<-->\forall x(A(x) \vee B)\\ 2.\forall x A(x)\wedge B<-->\forall x(A(x) \wedge B)\\ 3.\exists x A(x)\vee B<-->\exists x(A(x) \vee B)\\ 4.\exists x A(x)\wedge B<-->\exists x(A(x) \wedge B)\\ 不受量词约束的部分可以添加或消除到量词的辖域1.∀xA(x)∨B<−−>∀x(A(x)∨B)2.∀xA(x)∧B<−−>∀x(A(x)∧B)3.∃xA(x)∨B<−−>∃x(A(x)∨B)4.∃xA(x)∧B<−−>∃x(A(x)∧B)
量词分配公式
∀ x ( A ( x ) ∧ B ( x ) ) ⇔ ∀ x A ( x ) ∧ ∀ x B ( x ) ∃ x ( A ( x ) ∨ B ( x ) ) ⇔ ∃ x A ( x ) ∨ ∃ x B ( x ) ∃ x ( A ( x ) ∧ B ( x ) ) ⇒ ∃ x A ( x ) ∧ ∃ x B ( x ) ∀ x A ( x ) ∨ ∀ x B ( x ) ⇒ ∀ x ( A ( x ) ∨ B ( x ) ) 注 意 后 两 个 公 式 的 变 化 \forall x(A(x) \wedge B(x)) \Leftrightarrow \forall xA(x) \wedge \forall x B(x) \\ \exists x(A(x) \vee B(x)) \Leftrightarrow \exists xA(x) \vee \exists x B(x) \\ \exists x(A(x) \wedge B(x)) \Rightarrow \exists xA(x) \wedge \exists x B(x) \\ \forall xA(x) \vee\forall x B(x) \Rightarrow \forall x(A(x) \vee B(x)) \\ \tiny 注意后两个公式的变化 ∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x)∀xA(x)∨∀xB(x)⇒∀x(A(x)∨B(x))注意后两个公式的变化
范式
前束范式
所有量词前都没有连接词，所有量词都在公式左面，所有量词的辖域都延伸到公式的末尾
例 如 ∀ y ∃ x ( A ( x ) → B ( x , y ) ) 例如 \ \ \ \ \forall y \exists x (A(x) \rightarrow B(x,y)) 例如 ∀y∃x(A(x)→B(x,y))
求 ∀ x A ( x ) → ∃ x B ( x ) 的 前 束 范 式 ¬ ∀ x A ( x ) ∨ ∃ x B ( x ) ∃ x ¬ A ( x ) ∨ ∃ x B ( x ) ∃ x ¬ A ( x ) ∨ ∃ y B ( y ) ( 换 名 原 则 ) ∃ x ( ¬ A ( x ) ∨ ∃ y B ( y ) ) ( 量 词 的 辖 域 扩 充 ) ∃ x ∃ y ( ¬ A ( x ) ∨ B ( y ) ) ( 量 词 的 辖 域 扩 充 ) 求\forall xA(x)\rightarrow \exists xB(x) 的前束范式\\ \neg \forall xA(x) \vee \exists xB(x)\\ \exists x\neg A(x) \vee \exists xB(x)\\ \exists x\neg A(x) \vee \exists yB(y)(换名原则)\\ \exists x(\neg A(x) \vee \exists yB(y))(量词的辖域扩充)\\ \exists x \exists y(\neg A(x) \vee B(y))(量词的辖域扩充)\\ 求∀xA(x)→∃xB(x)的前束范式¬∀xA(x)∨∃xB(x)∃x¬A(x)∨∃xB(x)∃x¬A(x)∨∃yB(y)(换名原则)∃x(¬A(x)∨∃yB(y))(量词的辖域扩充)∃x∃y(¬A(x)∨B(y))(量词的辖域扩充)
求前束范式的步骤：
1. 消 除 公 式 中 的 连 接 词 ： → 与 ↔ 消除公式中的连接词：\rightarrow 与 \leftrightarrow 消除公式中的连接词：→与↔
2.
如 果 量 词 前 有 ¬ , 利 用 前 边 的 量 词 转 换 律 后 移 如果量词前有\neg,利用前边的量词转换律后移 如果量词前有¬,利用前边的量词转换律后移
3.
利 用 约 束 变 元 的 改 名 规 则 ， 为 量 词 的 扩 充 做 准 备 利用约束变元的改名规则，为量词的扩充做准备 利用约束变元的改名规则，为量词的扩充做准备
4.
量 词 扩 充 后 提 取 量 词 ， 将 式 子 化 为 前 束 范 式 量词扩充后提取量词，将式子化为前束范式 量词扩充后提取量词，将式子化为前束范式
谓词验算的推理
推理
推理的方法
推 理 方 法 P 1 ∧ P 2 ∧ P 3 ⇒ Q { 直 接 推 理 间 接 推 理 { 条 件 论 证 ( P 1 ∧ P 2 ⇒ P 3 → Q ) 反 证 法 ( P 1 ∧ P 2 ∧ P 3 ∧ ¬ Q ⇔ F ) \begin{array}{c}\mathrm{推理方法}\\P_1\wedge P_{2\;}\wedge P_3\Rightarrow Q\\\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{直接推理}\\\mathrm{间接推理}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{条件论证}(P_1\wedge P_2\Rightarrow P_3\rightarrow Q)\\\mathrm{反证法}(P_1\wedge P_2\wedge P_3\wedge\neg Q\Leftrightarrow F)\end{array}\right.\end{array}\right. 推理方法P1∧P2∧P3⇒Q⎩⎨⎧直接推理间接推理{ 条件论证(P1∧P2⇒P3→Q)反证法(P1∧P2∧P3∧¬Q⇔F)
推理的规则
推 理 的 规 则 { P 规 则 ( 证 明 过 程 中 引 入 初 始 条 件 ) T 规 则 ( 证 明 过 程 中 引 入 中 间 结 论 ) C P ( C o n d i t i o n a l P r o o f ) 规 则 ( 使 用 条 件 论 证 ) 脱 掉 或 添 加 量 词 的 规 则 { U S E S E G U G \mathrm{推理的规则}\left\{\begin{array}{l}P\mathrm{规则}(\mathrm{证明过程中引入初始条件})\\T\mathrm{规则}(\mathrm{证明过程中引入中间结论})\\CP(Conditional\;Proof)\mathrm{规则}(\mathrm{使用条件论证})\\ 脱掉或添加量词的规则\left\{\begin{matrix} US\\ ES\\ EG\\ UG \end{matrix}\right. \end{array}\right. 推理的规则⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧P规则(证明过程中引入初始条件)T规则(证明过程中引入中间结论)CP(ConditionalProof)规则(使用条件论证)脱掉或添加量词的规则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧USESEGUG
US规则：全称特指规则Universal Specialization
去掉全称量词
∀ x A ( x ) ⇒ A ( c ) ( c 是 个 体 域 中 任 意 指 定 个 体 ) \forall xA(x) \Rightarrow A(c)(c是个体域中任意指定个体) ∀xA(x)⇒A(c)(c是个体域中任意指定个体)
ES规则：特称特指规则Existential Specialization
去掉全存在量词
∃ x A ( x ) ⇒ A ( c ) ( c 是 使 得 A ( c ) 为 真 的 ) \exists xA(x) \Rightarrow A(c)(c是使得A(c)为真的) ∃xA(x)⇒A(c)(c是使得A(c)为真的)
EG规则：存在推广规则Existential Generalization
添加存在量词
A ( c ) ⇒ ∃ x A ( x ) ( c 个 体 域 内 的 某 个 个 体 ) A(c) \Rightarrow \exists xA(x) (c个体域内的某个个体) A(c)⇒∃xA(x)(c个体域内的某个个体)
UG规则：全称推广规则Universal Generalization
添加全称量词
A ( c ) ⇒ ∀ x A ( x ) ( c 个 体 域 内 的 任 意 某 个 个 体 ) A(c) \Rightarrow \forall xA(x) (c个体域内的任意某个个体) A(c)⇒∀xA(x)(c个体域内的任意某个个体)