二分查找问题的简单形式是：直接查找元素值等于指定值的元素。
然而，实际应用中，会有各种各样的变形问题：
- 存在重复元素值，查找第一个值等于指定值的元素；
- 存在重复元素值，查找最后一个值等于指定值的元素；
- 查找第一个大于等于指定值的元素；
- 查找最后一个小于等于指定值的元素；
对于变形的二分查找问题，基本思路与简单情况类似，所不同的是需要考虑更复杂的边界情况的处理。
变形1：存在重复元素值，查找第一个值等于指定值的元素
比如下面这样一个有序数组，其中，a[5]，a[6]，a[7]的值都等于 8，是重复的数据。我们希望查找第一个等于 8 的数据，也就是下标是 5 的元素。
解题思路：
1、和一般二分查找相同，先设定low/high指针，分别指向下标0和9；
2、求解mid指针的下标：mid=low+((high-low)>>1)，
3、根据a[mid]与指定值value的关系，选择更新high指针或者low指针，直到low>high停止。
先上码，再解释：
def bisearch_var1_1(A, value):
low = 0
high = len(A)-1
while low <= high:
mid = low + ((high-low)>>1)
if A[mid] > value:
high = mid - 1
elif A[mid] < value:
low = mid + 1
elif A[mid] == value:
if mid == 0 or A[mid-1] != value:
return mid
else:
high = mid - 1
return -1
def bisearch_var1_2(A, value):
low = 0
high = len(A)-1
while low <= high:
mid = low + ((high-low)>>1)
if A[mid] >= value:
high = mid - 1
elif A[mid] < value:
low = mid + 1
if low < len(A) and A[low]==value:
return low
else:
return -1这里给出了两种方案：
第一种方案——bisearch_var1_1：将a[mid]与指定值value的关系分为三个：大于、小于、等于。大于和小于的情况比较清晰，就不多说了。对于等于的情况，需要再作判断：当mid为0时说明在A[mid] == value情况下，mid是A中第一个元素，那当然也是以第一个等于value的元素；当A[mid-1] != value时，这个时候说明了mid位置的元素等于value但它前一个元素不等于value，由于A有序，那A[mid-1]一定是小于value的，此时mid也就是满足要求的第一个值等于value的元素的下标；因此，满足这两个条件之一即可返回结果，若都不满足，则说明了这样一种情况：A[mid]不是第一个等于value的元素，它前面还有其他元素也等于value，所以应该更新high指针，将搜索范围向low的方向缩小。
第二种方案——bisearch_var1_2：将a[mid]与指定值value的关系分为两个个：大于等于、小于。大于等于的时候，说明当前程序还不能确定当前元素A[mid]是第一个等于value的元素，所以更新high指针；小于的时候，说明还没找到等于value的元素，所以向high的方向更新low指针。这样经过while循环之后，low、high指针的情况就变成了这样几种情况：A中有值等于value的情况——A[low]==value，high=low-1，A[high]<value；A中没有值等于value的元素，且A[0]<value<A[n-1]的情况(n为A的长度)——A[low]>value, high = low-1, A[high]<value；A中没有值等于value的元素，且value>A[n-1]的情况(n为A的长度)—— high = n-1, low = n, A[high]<value; A中没有值等于value的元素，且value<A[0]的情况(n为A的长度)—— high = -1, low = 0, A[low]<value。可见，经过while后，几种情况都有一个共性：low=high+1。然后，再进行一次判断：low < len(A)且A[low]==value，说明找到值为value的元素且为第一个元素，否则就说明没找到，直接返回-1 。
针对这两种方案，简单测试下：
A = [1,2,3,3,3,4,4,5,6]
print(bisearch_var1_1(A,4)) # result： 5
print(bisearch_var1_2(A,0)) # result： -1变形2：存在重复元素值，查找最后一个值等于指定值的元素
解题思路与变形1相同，只是在边界条件的判断上有所不同，对于各个情况的分析也类似变形1。废话少说，直接上码：
def bisearch_var2_1(A, value):
low = 0
high = len(A)-1
while low <= high:
mid = low +((high-low)>>1)
if A[mid] > value:
high = mid -1
elif A[mid] < value:
low = mid + 1
elif A[mid] == value:
if mid == len(A)-1 or A[mid+1] != value:
return mid
else:
low = mid + 1
return -1
def bisearch_var2_2(A, value):
low = 0
high = len(A)-1
while low <= high:
mid = low + ((high-low)>>1)
if A[mid] > value:
high = mid - 1
elif A[mid] <= value:
low = mid + 1
if high >=0 and A[high]==value:
return high
else:
return -1
A = [1,2,3,3,3,4,4,5,6]
print(bisearch_var2_1(A,3)) # result: 4
print(bisearch_var2_2(A,0)) # result: -1变形3：查找第一个大于等于指定值的元素
前面的两种情况，都是希望能找到等于指定值的元素，而这里则希望找到第一个大于指定值的元素，所以在边界判断时有所不同，先给出两种解决方案的代码：
def bisearch_var3_1(A, value):
low = 0
high = len(A)-1
while low <= high:
mid = low + ((high-low)>>1)
if A[mid] >= value:
if mid == 0 or A[mid-1] < value:
return mid
else:
high = mid - 1
elif A[mid] < value:
low = mid + 1
return -1
def bisearch_var3_2(A, value):
low = 0
high = len(A)-1
while low <= high:
mid = low + ((high-low)>>1)
if A[mid] >= value:
high = mid - 1
elif A[mid] < value:
low = mid + 1
if low < len(A):
return low
else:
return -1
A = [1,2,3,3,3,4,4,5,6]
print(bisearch_var3_1(A,0.5)) # result: 0
print(bisearch_var3_2(A,0.5)) # result: 0对于第一种方案——bisearch_var3_1：将A[mid]与value值的关系分两种情况：大于等于、小于。当大于等于时，需要判断如果A[mid]为第一个元素（也即mid==0），或者mid的前一个元素A[mid-1]小于value，说明要么这是第一个元素且大于value满足条件，要么不是第一个元素但它前一个元素小于value，也满足条件，这时就直接返回mid即可；否则就更新high。当小于时，直接更新low即可。
对于第二种方案——bisearch_var3_2：将A[mid]与value值的关系分两种情况：大于等于、小于，与方案bisearch_var3_1所不同的时，bisearch_var3_2将判断放在了while之后。经过while循环，同样满足一个共同条件：low = high + 1，也分三种情况：value<a[0]、a[0]<value<a[n-1]、a[n-1]<value。前两种情况都属于能找到满足条件的元素，第三种情况则属于找不到满足条件的元素，因为第三种情况下A中最大元素都小于value。所以，只有当low小于n-1时，low的值才是所求。
变形4：查找最后一个小于等于指定值的元素
思路类似于变形3，是其反过来的情况，废话少说，直接上码：
def bisearch_var4_1(A, value):
low = 0
high = len(A)-1
while low <= high:
mid = low + ((high-low)>>1)
if A[mid] > value:
high = mid - 1
elif A[mid] <= value:
if mid == len(A)-1 or A[mid+1] > value:
return mid
else:
low = mid + 1
return -1
def bisearch_var4_2(A, value):
low = 0
high = len(A)-1
while low <= high:
mid = low + ((high-low)>>1)
if A[mid] > value:
high = mid - 1
elif A[mid] <= value:
low = mid + 1
if high >= 0:
return high
else:
return -1
A = [1,2,3,3,3,4,4,5,6]
print(bisearch_var4_1(A,3)) # result: 4
print(bisearch_var4_2(A,5.5)) # result: 7