【动态规划】49题-丑数

1 题目描述

我们把只包含质因子 2、3 和 5 的数称作丑数（Ugly Number）。求按从小到大的顺序的第 n 个丑数。
示例：

输入: n = 10
输出: 12
解释: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 是前 10 个丑数。

说明：

1 是丑数。
n 不超过1690。

2 解题思路

动态规划

解题思路：

丑数的递推性质：丑数只包含因子2，3，5，因此有“$丑数=某较小丑数\times 某因子$”（例如：$10=5\times 2$）。

设已知长度为n的丑数序列$x_1,x_2,...,x_n$，求第n+1个丑数$x_{n+1}$。根据递推性质，丑数$x_{n+1}$只可能是以下三种情况之一（索引a，b，c为未知数）：
$$x_{n+1}=\{\begin{array}{lcl}{x}_a\times 2& & a\in [1,n]\\ x_b\times 3& & b\in [1,n]\\ x_c\times 5& & c\in [1,n]\end{array}$$

由于$x_{n+1}$是最接近$x_n$的丑数。因此索引a，b，c需满足以下条件：
$$\{\begin{array}{lcl}{x}_a\times 2>x_n\ge x_{a-1}\times 2& & 即x_a为首个乘以2后大于x_n的丑数\\ x_b\times 3>x_n\ge x_{b-1}\times 3& & 即x_b为首个乘以3后大于x_n的丑数\\ x_c\times 5>x_n\ge x_{c-1}\times 5& & 即x_c为首个乘以5后大于x_n的丑数\end{array}$$

若索引a，b，c满足以上条件，则可使用递推公式计算下个丑数$x_{n+1}$，其为三种情况中的最小值，即：
$x_{n+1}=min(x_a\times 2,x_b\times 3,x_c\times 5)$
因此，可设置指针a，b，c指向首个丑数（即1），循环根据递推公式得到下个丑数，并每轮将对应指针执行+1即可。

动态规划解析：

• 状态定义：设动态规划列表dp，dp[i]代表第i+1个丑数。
• 转移方程：
  1. 当索引a，b，c满足以下条件时，dp[i]为三种情况的最小值；
  2. 每轮计算dp[i]后，需要更新索引a，b，c的值，使其始终满足方程条件。实现方法：分别独立判断$dp[i]$和$dp[a]\times 2$，$dp[b]\times 3$，$dp[c]\times 5$的大小关系，若相等则将对应索引a，b，c加1。
     $$\{\begin{array}{l}dp[a]\times 2>dp[i-1]\ge dp[a-1]\times 2\\ dp[b]\times 3>dp[i-1]\ge dp[b-1]\times 3\\ dp[c]\times 5>dp[i-1]\ge dp[c-1]\times 5\end{array}$$
     $dp[i]=min(dp[a]\times 2,dp[b]\times 3,dp[c]\times 5)$
• 初始状态：dp[0]=1，即第一个丑数为1；
• 返回值：dp[n-1]，即返回第n个丑数。

class Solution {
    
    
    public int nthUglyNumber(int n) {
    
    
        int a = 0, b = 0, c = 0;
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1;i < n;i++) {
    
    
            int n2 = dp[a] * 2;
            int n3 = dp[b] * 3;
            int n5 = dp[c] * 5;
            dp[i] = Math.min(Math.min(n2,n3),n5);
            if (dp[i] == n2) a++;
            if (dp[i] == n3) b++;
            if (dp[i] == n5) c++;
        }
        return dp[n-1];
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度 O(N) ： 其中 N=n ，动态规划需遍历计算 dp 列表。
• 空间复杂度 O(N) ： 长度为 N 的 dp 列表使用 O(N) 的额外空间。