一、概念引入
首先要先清楚最大流的含义,就是说从源点到经过的所有路径的最终到达汇点的所有流量和。
流网络G=(V,E)是一个有向图,其中每条边(u,v)∈E均有一个非负容量c(u,v)>=0。如果(u,v)不属于E,则假定c(u,v)=0。流网络中有两个特别的顶点:源点s和汇点t。下图展示了一个流网络的实例(其中斜线左边的数字表示实际边上的流,右边的数字表示边的最大容量):
二、基础知识准备
对一个流网络G=(V,E),其容量函数为c,源点和汇点分别为s和t。G的流f满足下列三个性质:
容量限制:对所有的u,v∈V,要求f(u,v)<=c(u,v)。
反对称性:对所有的u,v∈V,要求f(u,v)=-f(v,u)。
流守恒性:对所有u∈V-{s,t},要求∑f(u,v)=0 (v∈V)。
在求解最大流的问题前,必须对三个概念有所了解:残留网络,增广路径和割。下面先给出这三个概念的基本内容。
a.在给定的流网络G=(V,E)中,设f为G中的一个流,并考察一对顶点u,v∈V,在不超过容量c(u,v)的条件下,从u到v之间可以压入的额外网络流量,就是(u,v)的残留容量,就好像某一个管道的水还没有超过管道的上限,那么就这条管道而言,就一定还可以注入更多的水。残留容量的定义为:cf(u,v)=c(u,v)-f(u,v)。而由所有属于G的边的残留容量所构成的带权有向图就是G的残留网络。下图就是上面的流网络所对应的残留网络:
对比于:
残留网络中的边既可以是E里面的边,也可以是此边的反向边。只有当两条边(u,v)和(v,u)中,至少有一条边出现在初始网络中时,边(u,v)才会出现在残留网络中。下面是一个有关残留网络的定理,若f是G中的一个流,Gf是由G导出的残留网络,f'是Gf中的一个流,则f+f'是G中一个流,且其值|f+f'|=|f|+|f'|。证明时只要证明f+f'这个流在G中满足之前所讲述的三个原则即可。在这里只给出理解性的证明,可以想象如果在一个管道中流动的水的总流量为f,而在该管道剩余的流量中存在一个流f'可以满足不会超过管道剩余流量的最大限,那么将f和f'合并后,也必定不会超过管道的总流量,而合并后的总流量值也一定是|f|+|f'|。
b.增广路径p为残留网络Gf中从s到t的一条简单路径。根据残留网络的定义,在不违反容量限制的条件下,G中所对应的增广路径上的每条边(u,v)可以容纳从u到v的某额外正网络流。而能够在这条路径上的网络流的最大值一定是p中边的残留容量的最小值。这还是比较好理解的,因为如果p上的流大于某条边上的残留容量,必定会在这条边上出现流聚集的情况。所以我们将最大量为p的残留网络定义为:cf(p)=min{cf(u,v) | (u,v)在p上}。而结合之前在残留网络中定理,由于p一定是残留网络中从s到t的一条路径,且|f'|=cf(p),所以若已知G中的流f,则有|f|+|cf(p)|>|f|且|f|+|cf(p)|不会超过容量限制。
c.流网络G(V,E)的割(S,T)将V划分成为S和T=V-S两部分,使得s∈S,t∈T。如果f是一个流,则穿过割(S,T)的净流被定义为f(S,T)=∑f(x,y) (x∈S,y∈T),割(S,T)的容量为c(S,T)。一个网络的最小割就是网络中所有割中具有最小容量的割。设f为G中的一个流,且(S,T)是G中的一个割,则通过割(S,T)的净流f(S,T)=|f|。因为f(S,T)=f(S,V)-f(S,S)=f(S,V)=f(s,V)+f(S-s,V)=f(s,V)=|f|(这里的公式根据f(X,Y)=∑f(x,y) (x∈X,y∈Y)的定义,以及前面的三个限制应该还是可以推出来的,这里就不细讲了)。有了上面这个定理,我们可以知道当把流不断增大时,流f的值|f|不断的接近最小割的容量直到相等,如果这时可以再增大流f,则f必定会超过某个最小的割得容量,则就会存在一个f(S,T)<=c(S,T)<|f|,显然根据上面的定理这是不可能。所以最大流必定不超过网络最小割的容量。
综合上面所讲,有一个很重要的定理:最大流最小割定理
如果f是具有源s和汇点t的流网络G=(V,E)中的一个流,则下列条件是等价的:
1) f是G中一个最大流。
2) 残留网络Gf不包含增广路径。
3) 对G的某个割(S,T),有|f|=c(S,T)。
*********************************** 分割线 ***********************************
转载:网络流基础篇——Edmond-Karp算法 BY纳米黑客
网络流的相关定义:
- 源点:有n个点,有m条有向边,有一个点很特殊,只出不进,叫做源点。
- 汇点:另一个点也很特殊,只进不出,叫做汇点。
- 容量和流量:每条有向边上有两个量,容量和流量,从i到j的容量通常用c[i,j]表示,流量则通常是f[i,j].
通常可以把这些边想象成道路,流量就是这条道路的车流量,容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的,流量<=容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说,可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站,所有“进入”他们的流量和等于所有从他本身“出去”的流量。
- 最大流:把源点比作工厂的话,问题就是求从工厂最大可以发出多少货物,是不至于超过道路的容量限制,也就是,最大流。
求解思路:
首先,假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量),那么就把这一组流量,或者说,这个流,称为一个可行流。
一个最简单的例子就是,零流,即所有的流量都是0的流。
- (1).我们就从这个零流开始考虑,假如有这么一条路,这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点,并且,这条路上的每一段都满足流量<容量,注意,是严格的<,而不是<=。
- (2).那么,我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值delta。我们把这条路上每一段的流量都加上这个delta,一定可以保证这个流依然是可行流,这是显然的。
- (3).这样我们就得到了一个更大的流,他的流量是之前的流量+delta,而这条路就叫做增广路。我们不断地从起点开始寻找增广路,每次都对其进行增广,直到源点和汇点不连通,也就是找不到增广路为止。
- (4).当找不到增广路的时候,当前的流量就是最大流,这个结论非常重要。
补充:
- (1).寻找增广路的时候我们可以简单的从源点开始做BFS,并不断修改这条路上的delta 量,直到找到源点或者找不到增广路。
- (2).在程序实现的时候,我们通常只是用一个c 数组来记录容量,而不记录流量,当流量+delta 的时候,我们可以通过容量-delta 来实现,以方便程序的实现。
相关问题:
为什么要增加反向边?
在做增广路时可能会阻塞后面的增广路,或者说,做增广路本来是有个顺序才能找完最大流的。
但我们是任意找的,为了修正,就每次将流量加在了反向弧上,让后面的流能够进行自我调整。
举例:
比如说下面这个网络流模型
我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路,这条路上的delta值显然是1。
于是我们修改后得到了下面这个流。(图中的数字是容量)
这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了,我们再也找不到其他的增广路了,当前的流量是1。
但是,
这个答案明显不是最大流,因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4,这样可以得到流量为2的流。
那么我们刚刚的算法问题在哪里呢?
问题就在于我们没有给程序一个“后悔”的机会,应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。
那么如何解决这个问题呢?
我们利用一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边(i,j)都有一条反向边(j,i),反向边也同样有它的容量。
我们直接来看它是如何解决的:
在第一次找到增广路之后,在把路上每一段的容量减少delta的同时,也把每一段上的反方向的容量增加delta。
c[x,y]-=delta;c[y,x]+=delta;
我们来看刚才的例子,在找到1-2-3-4这条增广路之后,把容量修改成如下:
这时再找增广路的时候,就会找到1-3-2-4这条可增广量,即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后,得到了最大流2。
那么,这么做为什么会是对的呢?
事实上,当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候,就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给“退”了回去,不走2-3这条路,而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。
如果这里没有2-4怎么办?
这时假如没有2-4这条路的话,最终这条增广路也不会存在,因为他根本不能走到汇点
同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来“接管”。而最终2-3这条路正向流量1,反向流量1,等于没有流。
个人的c++实现代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
//capacity:容量
//flow:流量
//parent:记录在一条增广路中每个节点的前一个节点
//alpha:记录在增广路中当每个节点所能调整的流量的最大值
const int N = 20005;
int n,m,s,t;
struct Node{
int v,ne,f;//f表示流量,及边的权值
}e[N];
int h[N],idx,vis[N],d[N];//d[i]表示
int pre[N];//pre[i]记录点i是从哪一条边转移过来的
//下标为i的边的反向边为i^1
void add(int a,int b,int c){
e[idx].v = b,e[idx].f = c,e[idx].ne = h[a],h[a] = idx++;
e[idx].v = a,e[idx].f = 0,e[idx].ne = h[b],h[b] = idx++;
}
//寻找增广路径
bool bfs(){
int i,j;
memset(vis,0,sizeof vis);
queue<int> q;
q.push(s);
d[s] = inf;vis[s] = 1;
while(!q.empty()){
int x = q.front();q.pop();
for(i = h[x];i != -1;i = e[i].ne){
int v = e[i].v;
//如果该点没有访问过,并且该边的容量大于0
if(vis[v] == 0 && e[i].f>0){
vis[v] = 1;
//记录到达点v的最小边权
d[v] = min(e[i].f,d[x]);
//记录从哪条边过来的
pre[v] = i;
q.push(v);
if(v == t) return true;
}
}
}
return false;
}
//EK算法
int EK(){
int i,j;
int ans = 0;
while(bfs()){
//当存在增广路径的时候
//正向边-=d[t],反向边+=d[t];
ans+=d[t];
for(i=t;i!=s;i=e[pre[i]^1].v){
e[pre[i]].f -= d[t];
e[pre[i]^1].f += d[t];
}
}
return ans;
}
int main(){
int i,j;
memset(h,-1,sizeof h);
cin>>n>>m>>s>>t;
for(i = 1;i<=m;i++){
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
add(a,b,c);
}
//求最大流
cout<<EK()<<endl;
return 0;
}
个人总结:
残留网络:
残留网络指的是在原网络中指定了可行流之后对应的一个网络流,原网络的一个可行流对应一个残留网络。
- 残留网络的每条边c’(u,v) = c(u,v)-f(u,c);
- 残留网络的每条反向边c’(v,u) = f(u,v);
- 残留网络的可行流f’ + 原图的可行流f = 原题的另一个可行流.。
- 所以在残留网络中不断地求增广路(可行流)不断累加到原图的可行流f中,再更新残留网络,直到新残留网络不存在增广路
- 如何更新残留网络,对于残留网络的每一个可行流f,残留网络c(u,v)-=f,c(v,u)+=f;即得到一个新的残留网络
最大流最小割定理:
- 割的容量:所有正向割边的容量和,不同割的容量不同
- 如果f是网络中的一个流,CUT(S,T)是任意一个割,那么f的值等于正向割边的流量与负向割边的流量之差。
- 在任何网络中,如果f是一个流,CUT(S,T)是一个割,且f的值等于该割的容量,那么f是一个最大流,CUT(S,T)是一个最小割(容量最小的割)
- 最大流最小割定理:在任何网络中,最大流的值等于最小割的容量
- 最小割中,其正向割边的流量一定等于割的容量,且如果存在逆向割边的话,逆向流量为0,否则一定还可以增广
一、概念引入
首先要先清楚最大流的含义,就是说从源点到经过的所有路径的最终到达汇点的所有流量和。
流网络G=(V,E)是一个有向图,其中每条边(u,v)∈E均有一个非负容量c(u,v)>=0。如果(u,v)不属于E,则假定c(u,v)=0。流网络中有两个特别的顶点:源点s和汇点t。下图展示了一个流网络的实例(其中斜线左边的数字表示实际边上的流,右边的数字表示边的最大容量):
二、基础知识准备
对一个流网络G=(V,E),其容量函数为c,源点和汇点分别为s和t。G的流f满足下列三个性质:
容量限制:对所有的u,v∈V,要求f(u,v)<=c(u,v)。
反对称性:对所有的u,v∈V,要求f(u,v)=-f(v,u)。
流守恒性:对所有u∈V-{s,t},要求∑f(u,v)=0 (v∈V)。
在求解最大流的问题前,必须对三个概念有所了解:残留网络,增广路径和割。下面先给出这三个概念的基本内容。
a.在给定的流网络G=(V,E)中,设f为G中的一个流,并考察一对顶点u,v∈V,在不超过容量c(u,v)的条件下,从u到v之间可以压入的额外网络流量,就是(u,v)的残留容量,就好像某一个管道的水还没有超过管道的上限,那么就这条管道而言,就一定还可以注入更多的水。残留容量的定义为:cf(u,v)=c(u,v)-f(u,v)。而由所有属于G的边的残留容量所构成的带权有向图就是G的残留网络。下图就是上面的流网络所对应的残留网络:
对比于:
残留网络中的边既可以是E里面的边,也可以是此边的反向边。只有当两条边(u,v)和(v,u)中,至少有一条边出现在初始网络中时,边(u,v)才会出现在残留网络中。下面是一个有关残留网络的定理,若f是G中的一个流,Gf是由G导出的残留网络,f'是Gf中的一个流,则f+f'是G中一个流,且其值|f+f'|=|f|+|f'|。证明时只要证明f+f'这个流在G中满足之前所讲述的三个原则即可。在这里只给出理解性的证明,可以想象如果在一个管道中流动的水的总流量为f,而在该管道剩余的流量中存在一个流f'可以满足不会超过管道剩余流量的最大限,那么将f和f'合并后,也必定不会超过管道的总流量,而合并后的总流量值也一定是|f|+|f'|。
b.增广路径p为残留网络Gf中从s到t的一条简单路径。根据残留网络的定义,在不违反容量限制的条件下,G中所对应的增广路径上的每条边(u,v)可以容纳从u到v的某额外正网络流。而能够在这条路径上的网络流的最大值一定是p中边的残留容量的最小值。这还是比较好理解的,因为如果p上的流大于某条边上的残留容量,必定会在这条边上出现流聚集的情况。所以我们将最大量为p的残留网络定义为:cf(p)=min{cf(u,v) | (u,v)在p上}。而结合之前在残留网络中定理,由于p一定是残留网络中从s到t的一条路径,且|f'|=cf(p),所以若已知G中的流f,则有|f|+|cf(p)|>|f|且|f|+|cf(p)|不会超过容量限制。
c.流网络G(V,E)的割(S,T)将V划分成为S和T=V-S两部分,使得s∈S,t∈T。如果f是一个流,则穿过割(S,T)的净流被定义为f(S,T)=∑f(x,y) (x∈S,y∈T),割(S,T)的容量为c(S,T)。一个网络的最小割就是网络中所有割中具有最小容量的割。设f为G中的一个流,且(S,T)是G中的一个割,则通过割(S,T)的净流f(S,T)=|f|。因为f(S,T)=f(S,V)-f(S,S)=f(S,V)=f(s,V)+f(S-s,V)=f(s,V)=|f|(这里的公式根据f(X,Y)=∑f(x,y) (x∈X,y∈Y)的定义,以及前面的三个限制应该还是可以推出来的,这里就不细讲了)。有了上面这个定理,我们可以知道当把流不断增大时,流f的值|f|不断的接近最小割的容量直到相等,如果这时可以再增大流f,则f必定会超过某个最小的割得容量,则就会存在一个f(S,T)<=c(S,T)<|f|,显然根据上面的定理这是不可能。所以最大流必定不超过网络最小割的容量。
综合上面所讲,有一个很重要的定理:最大流最小割定理
如果f是具有源s和汇点t的流网络G=(V,E)中的一个流,则下列条件是等价的:
1) f是G中一个最大流。
2) 残留网络Gf不包含增广路径。
3) 对G的某个割(S,T),有|f|=c(S,T)。
*********************************** 分割线 ***********************************