【ACWing】859. Kruskal算法求最小生成树

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/861/

给定一个$n$个点$m$条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

数据范围：
$1\le n\le 10^5$
$1\le m\le 2\times 10^5$
$|e|\le 1000$
$e$是边长

由数据范围知图是稀疏图，可以用Kruskal算法。其思路是这样的，先将所有的边根据权重从小到大排序，然后依次加入，每次加入的时候判断一下加入该边是否会导致环（这个判断可以用并查集来做），如果不导致环则加入，否则略过。最后看一下已经加入的边数是否等于$n-1$，如果是则找到了一棵最小生成树，否则说明最小生成树不存在。代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 100010, M = 2 * N;

int n, m;
int p[N];

struct Edge {
    
    
    int a, b, w;
    bool operator<(const Edge &W) const {
    
    
        return w < W.w;
    }
} edges[M];

void init(int n) {
    
    
    for (int i = 0; i < n; i++) p[i] = i;
}

int find(int x) {
    
    
    if (x != p[x]) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
} 

// 返回边x - y是否能加入，能则返回true
bool merge(int x, int y) {
    
    
    int px = find(x), py = find(y);
    if (px == py) return false;
    p[px] = py;
    return true;
}

int main() {
    
    
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
    
    
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;
        edges[i] = {
    
    a, b, w};
    }
    
    init(n);
    sort(edges, edges + m);

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
    
    
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
        // 若能加入，则累加边长
        if (merge(a, b)) {
    
    
            res += w;
            cnt++;
        }
    }

    if (cnt < n - 1) cout << "impossible" << endl;
    else cout << res << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(m\log m)$，空间$O(m)$。