求最小生成树——Kruskal

Kruskal(克鲁斯卡尔)算法:

“求加权连通图的最小生成树的算法。”
              ——百度百科
 
我们直接来看Kruskal算法的实现思想:
  对于每一条边,按权值从小到大排序,然后遍历。判断一条边的两点是否已经连通,若未连通,则把这条边加入图中,否则继续判断下一条边,直到构建出最小生成树。(一种贪心算法的应用)
 
看完上面,不知道你理解了吗?不管是否明白,我们下面结合一个例子再看一遍Kruskal是如何实现的。
 
对于下面的图,它有6个点和9条边,每条边上有相应的权值,不过目前这些边都还没有加入到图中。
首先我们从权值为1的边看起(按权值从小到大),很显然,它的两个点还没有连通,我们把它加入图中。
 
同样,我们接着把权值为2、3的两条边加入到图中。
 
然而在判断权值为4的边的时候,要小心,它的两端点已经连通(c→b→d),所以我们跳过这条边。
 
同理,我们接下来跳过权值为5、7、9的边,且将权值为6、8的边加入到图中,得到了我们的最小生成树。
 
相信通过上面的例子,你对Kruskal已经有了更深的理解,现在我们来思考如何用代码实现我们在上面模拟的过程。

首先我们先要解决两个问题:
  ①如何表示这些边、点及边的权值。
  ②如何判断两个点是否连通。
要解决这两个问题,我们需要两个工具:
·一个结构体,用来储存边的信息: 
1 struct edge
2 {
3     int start,to,value;    //起点、终点和权值,value的值可以不是整型
4     bool operator <(edge a)const    //重载运算符,作用相当于一个cmp函数
5     {
6         return value<a.value;
7     }
8 }e[num_edge];

 ·利用并查集,来判断点是否连通:

(如还未学习并查集,可点此跳转学习(施工中orz))
 1 int union_find(int x)
 2 {
 3     int r=x;
 4     while(pre[r]!=r)    //寻找祖先。这样的话,我们就需要一个pre数组记录这个点的祖先
 5     {
 6         r=pre[r];
 7     }
 8     int i=x,j;
 9     while(i!=r)    //路径压缩,可不加
10     {
11         j=pre[i];
12         pre[i]=r;
13         i=j;
14     }
15     return r;
16 }

有了这两个工具,我们就可以用代码来实现Kruskal了:

void kruskal()
{
    int i;
    total=0;    //记录已经加入图中的边的数量
    val=0;    //记录权值之和
    for(i=0;i<m;i++)    //遍历边
    {
        int u,v;
        u=union_find(e[i].start);
        v=union_find(e[i].to);
        if(u==v) continue;    //判断这个边的两点是否连通,如连通,则跳过
        total++;
        pre[u]=v;    //将两点更新为连通
        val+=e[i].value;
        if(total==n-1) break;    //若total=n-1则已经生成最小生成树,可跳出循环了
    }
    return ;
}

 

例题:Luogu P3366【模板】最小生成树

代码:
 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int pre[5005],n,m,val,total;
 6 
 7 struct edge
 8 {
 9     int start,to,value;
10     bool operator <(edge a)const
11     {
12         return value<a.value;
13     }
14 }e[200005];
15 
16 int union_find(int x)
17 {
18     int r=x;
19     while(pre[r]!=r)
20     {
21         r=pre[r];
22     }
23     int i=x,j;
24     while(i!=r)
25     {
26         j=pre[i];
27         pre[i]=r;
28         i=j;
29     }
30     return r;
31 }
32 
33 void kruskal()
34 {
35     int i;
36     total=0;
37     val=0;
38     for(i=0;i<m;i++)
39     {
40         //cout<<"test"<<' ';
41         int u,v;
42         u=union_find(e[i].start);
43         v=union_find(e[i].to);
44        // cout<<u<<' '<<v<<'*'<<endl;
45         if(u==v) continue;
46         total++;
47         pre[u]=v;
48         val+=e[i].value;
49         if(total==n-1) break;
50     }
51 }
52 
53 int main()
54 {
55     int i;
56     scanf("%d%d",&n,&m);
57     for(i=0;i<n;i++) pre[i]=i;
58     for(i=0;i<m;i++) scanf("%d%d%d",&e[i].start,&e[i].to,&e[i].value);
59     sort(e,e+m);
60     kruskal();
61     //cout<<total<<'*'<<endl;
62     if(total==n-1) printf("%d",val);
63     else printf("orz");
64     return 0;
65 }
Luogu P3366

 

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