【ACWing】902. 最短编辑距离

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/904/

给定两个字符串$A$和$B$，允许对$A$进行三种操作：
1、将其中某个字符删除；
2、在任意位置添加某个字符；
3、将任意一个字符修改为另一个字符。
问将$A$变为$B$至少需要多少次操作。

数据范围：
$1\le n,m\le 1000$

思路是动态规划。设$f[i][j]$是$A$的前$i$个字符组成的子串最少经过多少次操作可以变成$B$的前$j$个字符组成的子串。根据对$A$的末尾进行的最后一次操作类型来分类。如果是删除，那么就是要将$A$的长$i-1$前缀变成$B$的前$j$个字符，再加上删除$B$这个操作，总最小次数是$f[i-1][j]+1$；如果是添加，那么就是要将$A$的长$i$前缀变成$B$的前$j-1$个字符，再加上在$A$末尾添加$B$末尾这个操作，总最小次数是$f[i][j-1]+1$；如果是修改，分两种情况，如果$A[i-1]\ne B[j-1]$，那么必须做修改，就是要将$A$的长$i-1$前缀变成$B$的前$j-1$个字符，再加上末尾修改这个操作，总最小次数是$f[i-1][j-1]+1$；如果$A[i-1]=B[j-1]$，则不必修改，将$A$的长$i-1$前缀变成$B$的前$j-1$个字符即可，总最小次数是$f[i-1][j-1]$。$f[i][j]$在上面几个情况里取最小即可。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m;
string a, b;
int f[N][N];

int main() {
    
    
    cin >> n >> a;
    cin >> m >> b;

    for (int i = 0; i <= m; i++) f[0][i] = i;
    for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = i;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
    
    
            f[i][j] = min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1);
            if (a[i - 1] == b[j - 1]) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);
            else f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
        }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

时空复杂度$O(nm)$。