【训练题17：二维区间DP】棋盘分割 | 洛谷 P1436

棋盘分割 | 洛谷 P1436

题外话

之前感觉这题是棋盘DP的一个切割版本。
睡了一觉，想到了：这不就是平面的区间DP吗？
然后百度了一下，真有二维区间DP的说法。

难度

$提高+/省选-$

题意

给一个 $8\times 8$的棋盘，每个格子上有一个数字。
切割一次，在剩下的两个矩形中选择一个，继续切割一次……直到剩下 $n$ 个矩形。

然后问你，这个剩下的每个矩形的平方和的最小值为多少。

数据范围

$1<n<15$

思路

• 每次只能竖切或者横切，经典的棋盘切割题。
• 设$dp[i][j][a][b][k]$ 表示左上角(i,j)到右下角(a,b)的矩形切割成k个矩形的最小平方和
• 考虑状态转移，我们可以横切也可以竖切。并且如果切完后整个矩形会分成$k$个矩形，那么肯定要其中一个子矩形分成1份，另一个子矩形分成$k-1$份。
• 转移方程：
  $h$表示中间的切割断横。则：（画个图算一下点坐标即可）
  $$\begin{gathered} dp[i][j][a][b][k]=min(dp[i][j][a][b][k],min(dp[i][j][a][h][1]+dp[i][h+1][a][b][k-1],dp[i][j][a][h][k-1]+dp[i][h+1][a][b][1])); \\ dp[i][j][a][b][k]=min(dp[i][j][a][b][k],min(dp[i][j][h][b][1]+dp[h+1][j][a][b][k-1],dp[i][j][h][b][k-1]+dp[h+1][j][a][b][1])); \end{gathered}$$

初始化与一点小优化：

• 计算$dp[i][j][a][b][1]$ 就是这个子矩阵的每个元素的平方和。可以使用二位差分：
• 递推：$de[i][j]=de[i-1][j]+de[i][j-1]-de[i-1][j-1]+a[i][j]$
• 获取左上角(i,j),右下角(a,b)矩阵的和 ：$de[a][b]-de[i-1][b]-de[a][j-1]+de[i-1][j-1]$

核心代码

时间复杂度 $O(8^5\times n)$

/*
 _            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|
        __/ |
       |___/
*/
const int MAX = 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int de[MAX][MAX];
int dp[MAX][MAX][MAX][MAX][20];

int main()
{
    
    
    int K;cin >> K;
    for(int i = 1;i <= 8;++i)
    for(int j = 1;j <= 8;++j){
    
    
        int t;cin >> t;
        de[i][j] = de[i-1][j] + de[i][j-1] - de[i-1][j-1] + t;
    }

    for(int i = 1;i <= 8;++i)
    for(int j = 1;j <= 8;++j)
    for(int a = i;a <= 8;++a)
    for(int b = j;b <= 8;++b){
    
    
        dp[i][j][a][b][1] = (de[a][b] - de[a][j-1] - de[i-1][b] + de[i-1][j-1]) * (de[a][b] - de[a][j-1] - de[i-1][b] + de[i-1][j-1]);
    }

    for(int k = 2;k <= K;++k)
    for(int i = 1;i <= 8;++i)
    for(int j = 1;j <= 8;++j)
    for(int a = i;a <= 8;++a)
    for(int b = j;b <= 8;++b){
    
    
        dp[i][j][a][b][k] = INF;
        for(int h = j;h < b;++h)
            dp[i][j][a][b][k] = min(dp[i][j][a][b][k],min(dp[i][j][a][h][1] + dp[i][h+1][a][b][k-1],dp[i][j][a][h][k-1] + dp[i][h+1][a][b][1]));
        for(int h = i;h < a;++h)
            dp[i][j][a][b][k] = min(dp[i][j][a][b][k],min(dp[i][j][h][b][1] + dp[h+1][j][a][b][k-1],dp[i][j][h][b][k-1] + dp[h+1][j][a][b][1]));
    }
    cout << dp[1][1][8][8][K];
}