这篇文章很好，研究了永磁铁驱动的蜂群的运动学建模。重心为各偶极子的位置平均，形状为一个协方差矩阵；再研究了整体前进方向的变化，浓度的变化，协方差矩阵（形状）的变化，尺寸（标准差）的变化。
在一个旋转磁极子场中的磁微机器人蜂群的运动学模型
Kinematic model of a magnetic-microrobot swarm in a rotating magnetic dipole field [1]
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Authors: Chaluvadi, BhanuKiran, et al.
2020, IEEE robotics and automation letters (RA-L)
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0. Abstract 摘要
这篇文章描述一个旋转磁极子场如何操纵微机器人蜂群的位置和形状，特别是将旋转转换为前进推进的微机器人，比如螺旋游丝和螺丝。分析假设蜂群能被一个重心和一个协方差矩阵来描述，其中蜂群包含一个随机和未知数量的同质的微机器人。这个文章的结果是一个运动学模型，能被用来作为运动规划器和反馈控制系统的一个先验模型。因为这模型是完全三维的，不需要任何定位信息（可以从医疗图像实际确定），这个理论有潜力用于体内医疗应用。这个模型被实验验证，使用磁螺丝穿过一个软组织仿体，被一个旋转球形永磁铁推进。
This letter describes how a rotating magnetic dipole field will manipulate the location and shape of a swarm of magentic microrobots, especially microrobots that convert rotation into forward propulsion, such as helical swimmers and screws. The analysis assumes a swarm that can be described by a centroid and a covariance matrix, with the swarm comprising an arbitrary and unknown number of homogeneous microrobots. The result of this paper is a kinematic model that can be used as a priori model for motion planners and feed-back control systems. Because the model is fully three-dimentional and does not require any localization information beyond what could realistically be determined from medical images, the method has potential for in-vivo medical application. This model is verified by experiments using magnetic screws moving through a soft issue phantom, propelled by a rotating spherical permanent magnet.
1. Introduction 介绍
我们以相对于旋转极子的平均位置（蜂群重心）和描述蜂群形状的协方差矩阵表征蜂群，这两个能从图片中估计。我们量化这些参数如何在一个旋转极子场中随时间和空间变化。
We characterize the swarm in terms of a mean position (the centroid of the swarm) with respect to the rotating dipole, and a covariance matrix that describes the shape of the swarm, both of which can be estimated from images. We quantify how these parameters evolve in time and space in a rotating dipole field.
3. kinematics of a microrobot swarm in a rotating dipole field 在一个旋转极子场中的微机器人蜂群的运动学
大磁铁旋转，产生旋转磁场，微机器人的磁矩一直和旋转磁场对齐，那就都绕着自己的旋转轴转。在大磁铁的两端，微机器人蜂群聚集或者分散。在垂直于大磁铁的一侧位置，微机器人蜂群将延切线方向直线运动。在其他位置，微机器人蜂群将同时转弯和聚集或者分散。
蜂群能被显式看作N个微机器人的一个离散集合，或者被描述为微机器人的一个时变并且空间变化连续数密度。
蜂群重心是它的平均位置
标准差是蜂群整体尺寸的尺度。比如，我们期望蜂群的95%掉入一个距离重心为 2 σ 2\sigma 2σ的区域。
对于以瞬时速度v在k空间中移动的材料元素的任何属性Q，属性导数可以被计算。
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A. 蜂群重心 Centroid of the swarm
计算蜂群轨迹的瞬时曲率（蜂群前进方向的导数）（静态场）
B. 蜂群浓度 Swarm density/concentration
为了决定蜂群是否散开或者聚集，需要检查随蜂群移动的浓度的改变率。
C. 蜂群形状 swarm shape (协方差)
协方差的改变率的计算（形状的改变率）
D. Overall swarm size 整体蜂群尺寸
标准差的时间导数通过链式法则获得。
[1]: Chaluvadi, BhanuKiran, et al. “Kinematic model of a magnetic-microrobot swarm in a rotating magnetic dipole field.” IEEE Robotics and Automation Letters 5.2 (2020): 2419-2426.