【luogu】【矩阵乘法】【快速幂】斐波那契数列的和

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题目描述

求数列 $f_n=f_{n-2}+f_{n-1}$ 的前 $n$ 项的和，其中 $f_1=1,f_2=1$。 输出的数 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10^9+7$

输入格式

一个数 $n$。

输出格式

前 $n$ 项和 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10^9+7$

输入输出样例

输入 #1

10

输出 #1

143

输入 #2

1234567

输出 #2

624628108

说明/提示

【数据范围】

对于 $20\%$ 的数据，有 $1\le n\le 20$

对于 $100\%$ 的数据，有 $1\le n<2^{63}$

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解题思路

设前$n$项的和为$s[n]$

众所周知，$s[n]=f[n+2]-1$
$f[n+2]-1$
$=f[n]+f[n+1]-1$
$=f[n]+f[n-1]+f[n]-1$
$=f[n]+f[n-1]+f[n-2]+f[n-1]-1$
$=f[n]+f[n-1]+...+f[2]+f[1]+f[2]-1$
$\because f[2]=1$
$\therefore f[n+2]=f[n]+f[n-1]+...+f[1]=s[n]$

用矩阵乘法算出$f[n+2]$
详情请见裴波拉契数列II

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Code

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int Mod = 1000000007;
long long n;

struct DT{
    
    
	int n, m;
	long long aed[5][5];
}A, B, Ac;

DT operator *(DT a, DT b){
    
    //矩阵乘法
	DT c;
	c.n = a.n, c.m = b.m;
	memset (c.aed, 0, sizeof (c.aed));
	for (int k = 1; k <= a.m; k++)
		for (int i = 1; i <= c.n; i++)
			for (int j = 1; j <= c.m; j++)
				c.aed[i][j] = (c.aed[i][j] + a.aed[i][k] * b.aed[k][j] % Mod) % Mod;
	return c;
}

void power (long long n){
    
    //快速幂
	if (n == 1)
	{
    
    
		Ac = A;
		return;
	}
	power (n / 2);
	Ac = Ac * Ac;
	if (n % 2) Ac = Ac * A; 
}

int main(){
    
    
	A.n = A.m = 2;
	A.aed[1][2] = A.aed[2][1] = A.aed[2][2] = 1;
	B.n = 1, B.m = 2;
	B.aed[1][1] = B.aed[1][2] = 1;
	scanf ("%lld", &n);
	power (n + 1);//A ^ （n + 1） * B = 第n + 2项
	B = B * Ac;
	printf ("%lld", B.aed[1][1] - 1);
}