【中科大软院-形式化课程】PartA：More Coq Tactics

Negation: tactic unfold

Coq用符号~表示命题的否定。~ P是P -> False的一个语法，我们可以用像下面这样的否定来建立定理:

Theorem example_1: forall P: Prop,
        ~(P /\ ~P).
    Proof.
        unfold not.
        intros.
        inversion H.
        apply H1.
        apply H0.
    Qed.

Exercise1：~(P \/ Q) -> ~P /\ ~Q

Theorem exercise_1: forall P Q :Prop,
~(P \/ Q) -> ~P /\ ~Q.
Proof.
       unfold not.
       intros.
       split.
       intros.
       destruct H.
       left.
       apply H0.
       intros.
       destruct H.
       right.
       apply H0.
Qed.

策略断言(assert)
有时候，我们需要从一个中间目标来证明我们当前的目标。assert或assert (h: h)策略将h作为一个新的子目标引入;在你证明了新的目标之后，你可以用假设h: h来证明你原来的目标。下面是一个例子:

 Theorem example2 : forall P Q: Prop,
        (P /\ ~P) -> Q.
    Proof.
        unfold not.
        intros.
        assert (f : False).
        inversion H.
        apply H1.
        apply H0.
        inversion f.
    Qed.

策略破坏(destruct)
在作业2中，我们使用反转策略来打破假设中的连接或分离。还有另一个更常用的策略来处理连词和析取:破坏策略。这个策略用两个假设P和Q代替一个假设P /\ Q。或者，如果假设是一个分离的P \/ Q，这个策略产生两个子目标:在一个P持有，在另一个Q持有。策略析构还可以为归纳类型的每个构造函数生成一个子目标。

Theorem example3 : forall P Q R: Prop,
        P \/ Q -> (P -> R) -> (Q -> R) -> R
    Proof.
        intros.
        destruct H as [Hp|Hq].
        apply H0 in Hp.
        apply Hp.
        apply H1 in Hq.
        apply Hq.
    Qed.

Exercise 2: Using the tactic destruct, to prove

       P /\ (Q \/ R) <-> (P /\ Q) \/ (P /\ R).
    

Theorem exercise_1: forall P Q R:Prop,
  P /\ (Q \/ R) <-> (P /\ Q) \/ (P /\ R).
Proof.
       intros.
       split.
       intros.
       inversion H.
       destruct H1 as [Hq | Hr].
       left.
       split.
       apply H0.
       apply Hq.
       right.
       split.
       apply H0.
       apply Hr.

       intros.
       inversion H.
       destruct H as [H1 | H2].
       split.
       inversion H0.
       apply H.
       inversion H0.
       left.
       apply H2.
       inversion H2.
       split.
       apply H.
       right.
       apply H1.
       inversion H0.
       split.
       apply H1.
       right.
       apply H2.
Qed.

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