λ演算简介及coq实现λ演算
离散数学开课后感觉很多东西需要更深探索，老师也教授了一些coq证明系统的内容，感觉λ演算不太好理解，打算用这种方式加深自己的理解，第一篇博客，内容来自对网上一些解释和老师讲解内容的理解，随后会推出自然推理系统和coq证明系统的基本使用方法。这里的内容不会涉及很深的东西，如果以后有精力会尽量加深解读。（借助的一些资料会在文末贴链接）
什么是λ演算
思想起源：证明过程机械化（比如图灵机），让一切事物都能通过机械的既定理论得以证明（貌似非常不可思议，但是现在很多领域以这种思想为基础派生出许多有趣的事物，让人不得不钦佩当时图灵一代人的创新思维）
实现目标：利用形式语言推算出大量定理（类似人工智能）
- λ演算是一种形式系统 ，相当于数学中利用符号描述世界的思想；
- 函数式编程，如果不明白其表达式的含义时，会觉得非常复杂，如：(λ x.x+2) 2.实际上这就是通过代入的方法计算2+2，λ演算规则很有限也很简单，但是却可以实现大部分的可计算问题。
λ的文法（语法和符号表示规则）
- 主导思想：
(1) everything is function.
(2) every function must be anonymous. - 归纳定义:
(1) x,y,z,plus…(一些String），称为λ项
(2) M N :application(M(N)),M,N是定义好的项，运算顺序是左结合
(3) λx.M:函数定义 anonymous. - 基本结构：λ<变量>.<表达式>(注意不要忽略**.**）
(1).这种结构明确地表示了函数关系，如：f(x)=x,能明确知道y是x的函数，若表示成y=x,可能会认为y是x+1的函数（y=(x+1)-1);
(2).需要计算具体的值时，只需将常量放在括号外：(λx.x+2)2，其中（x+2）相当于是函数的返回值
(3).涉及到多个变量，需要按顺序进行传递（感觉很像高级编程语言里形参和实参的单向传递）如：((λx.λy.2*x+y)1)2)代表x=1，y=2. - coq中的λ演算：λx.M<=>fun x =>M
一些coq代码实例：
Coq < Compute (fun x=>x+2)2.
= 4
: nat
Coq < Compute (fun x=>plus x 2)2.
= 4
: nat
- 一些函数实例
（1）high order function：succ运算（见下一节）
有关λ表达式的一些运算
- complete binding:
在（λx.x+y）中，x是binding的，y是free的（类似于全称量词中的free和bound） - 运算的两条基本法则 Alpha和Beta
（1）alpha转换：改变函数参数名称，同时修改函数体内对它的自由引用
（2）beta规约：将标识符代入函数的参数中，但不能影响约束性
如：(λx.x+2)2 ，将2代入x的过程就是规约
（λx.x+2)(x+2)，这里x+2是free，不受λx的约束，需要先使用换名，再进行代入
如不换名：计算结果：x+x+2
如换名：（λx.x+2)(x+2)变为（λx.x+2)(y+2)，计算结果为：y+x+2 - 一些数字运算
(1) 在介绍利用lambda演算进行计算之前，先引入些syntactic sugar命名函数
全局函数：使用let表达式
lambda文法表达：
let m=lambda x.x^2
命名了一个名为“m”的全局函数，如果计算"m 2",返回结果是4
coq代码表示：
Compute let m:=fun x=>x+2 in m 3.
（2）数字的表示
前面我们说明了lambda演算中一切都是函数，那么数字也是通过函数定义的。称为函数的数字化（“Church Numerals")
coq中的自然数定义
3=S(S(S(O)))
0=O
lambda演算中的自然数定义
z相当于对零值的命名
0<=>λs.λz.z
1<=>λs.λz.s(z)
2<=>λs.λz.s(s(z))
…
coq代码实例：
Definition compose := fun (f: nat -> nat)
=> fun (g : nat -> nat)
=> fun x => g (f x).
Check compose.
Compute compose S S 0.
Compute compose (plus 2) (plus 3) 3.
Compute compose (fun x => x + 3) (plus 2) 4.
(*sugar:fun x move to the left*)
Definition compose' (f: nat -> nat) (g: nat -> nat) x := g (f x).
(*coq:type can be argument*)
Definition compose'' {A B C : Set} (f: A -> B) (g : B ->C) (x:A) :=
g ( f x).
Check compose''.
Compute compose S S 2.
①加法的实现
如果我们要实现加法，实际上需要四个参数：两个加数，s和z。
那么我们要实现两个步骤：
a.接受两个参数
b.正则化（即将参数表示为s,z的组合形式）
（这里我还没有充分理解，随后可能发文进行解释，此处先略去加法定义）
- 布尔运算和选择分支
形式化λ演算系统和计算（使用coq）
由于coq的基本知识还没学完，这部分简单略过，后期可能进行补充
- λ项的定义
- 符号化
- 运算的定义
先这些吧…感觉写的有点乱，主要是老师讲的越来越听不懂了
拓展资料：church coding
参考资料：GitHub上关于lambda演算的讲解
