今天是小浩算法 “365刷题计划” 第 109 天。继续为大家讲解 leetcode 第 60 题，是一道中等难度的题目。
排列类别的问题主要就两个，一个是全排列：
另一个就是本题（两个题在剑指offer都出现了）：
01
PART
第K个排列
题目比较绕，耐心点还是可以看懂的~加油！
题目：给出集合 [1,2,3,…,n]，其所有元素共有 n! 种排列。
按大小顺序列出所有排列情况，并一一标记，当 n = 3 时, 所有排列如下：
"123"
"132"
"213"
"231"
"312"
"321"
给定 n 和 k，返回第 k 个排列。
说明：
给定 n 的范围是 [1, 9]。
给定 k 的范围是[1, n!]。
给出两个示例：
示例 1:
输入: n = 3, k = 3 输出: "213"
示例 2:
输入: n = 4, k = 9 输出: "2314"
02
PART
题解分析
这道题目的标签标的数学和回溯算法，所以我们分别用数学和回溯的方法来解题。
从数学方法说起，先讲一下康托展开。
那康托展开是干嘛的？用来计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序。卧槽，不就是本题吗。
听不懂？就是说如果你知道 1234 是序号 1，1243 是 序号2，这个公式就可以直接告诉你 4132 的序号是多少！
公式是这样的：
解释一哈：
这个 X 就是最终的序号值，比实际序号少一位，因为可以看到康托展开第一位计算的值是 0 。
网上看到的很多图可能名次是从 1 开始，这个大家注意一下就行：
关键是这个 
，这个其实就是看原数的第 i 位在当前未出现的元素中是排在第几个。
感觉这句话有点拗口，用上面出现的问题解释一下：1234 是序号 1，1243 是 序号 2， 4132 的序号是多少？
解释：第一个数是 4，比 4 小的并且还没有出现过的数有 3 个（123），第二个数是 1，比 1 小的并且还没有出现过的数为 0 个。第三个数是 3，比 3 小的并且还没有出现过的数为 1。第四个数是 2 ，比 2 小的并且还没有出现过的数为 0 个。
有 X = 33！+ 02！+ 11！+ 00！= 19，此时的序号为 19+1 = 20。还不明白的看下下面这个图：
然后我们把上面的东西反着来，就叫做 逆康托展开。换句话说，就是给我们了 X 的值，让我们求 。
对于 逆康托展开，我还是给一个例子。比如 nums 还是 1234，我们要找第 15 位。那么要进行以下几步：
-
首先，因为 X 比实际序号少一位，所以我们要用实际序号减1，也就是 15 - 1 = 14。
-
目标值的第一个字符，14 / 3! = 2 ... 2 (商2余2)，没有已使用的字符，第一个字符取在未使用的字符中排增序第3。即3
-
目标值的第二个字符，2 / 2! = 1 ... 0，已使用的字符为3，第二个字符取在未使用的字符中增序排第2。即2
-
目标值的第三个字符，0 / 1! = 0 ... 0，已使用的字符为2和3，第三个字符取在未使用的字符中增序排第1。即1
-
目标值的第三个字符，0 / 0! = 0 ... 0，已使用的字符为1，2和3，第四个字符取在未使用的字符中增序排第1。即4
-
那么要求的这个序列为：3214。
- 可以查下上面的表，发现是正确的。如果看不懂，可以回到上面的例子再看看，其实就是把上面过程倒着来。
最后，我们再将逆康托展开进行应用：
//JAVA
class Solution {
public String getPermutation(int n, int k) {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
// 候选数字
List<Integer> candidates = new ArrayList<>();
// 分母的阶乘数
int[] factorials = new int[n+1];
factorials[0] = 1;
int fact = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
candidates.add(i);
fact *= i;
factorials[i] = fact;
}
//预处理
k -= 1;
for(int i = n-1; i >= 0; --i) {
// 计算候选数字的index
int index = k / factorials[i];
sb.append(candidates.remove(index));
k -= index*factorials[i];
}
return sb.toString();
}
}
03
PART
相似题目
说是相似题目，但是其实下面两个题目我都是用回溯来求解的啦。算是通用解法吧~大家有兴趣也可以用回溯来解下本题。
我把我写的所有题解都整理成了一本电子书，每道题都配有完整图解。