高维度前缀和

枚举子集

二进制枚举子集下面代码就是枚举的s的子集（二进制状态压缩）

	for(int i=s;i;i=(i-1)&s)
	{
    
    
		//i表示的就是s的子集
	}

枚举所有子集的子集的时间复杂度
比如一个有n个元素构成的集合，子集的数量是$2^n$，现要求枚举所有子集的子集。
一个有k个元素构成的集合，子集的数量是$2^k$

考虑$n$个元素构成的集合子集：
元素个数是$0$的集合个数是$C_n^0$
元素个数是$1$的集合个数是$C_n^1$
$\dots$
于是有以下等式
$$C_n^0\times 2^0+C_n^1\times 2^n+\cdots +C_n^n\times 2^n=(1+2{)}^n=3^n$$

由此最终需要枚举$3^n$个状态，时间复杂度为$\Theta (3^n)$

Close Group

首先暴力预处理出所有满足题意的连通块，连通块中的点两两之间有直接边。$\Theta (n^2+2^n)$

状态压缩dp
状态表式：$f_i$表示选择$i$这些点构成的最少数量的团
状态计算：枚举$i$状态的子集$j$，于是有$f_i=min(f_i,f_j+f_{i\oplus j})$
时间复杂度：枚举所有状态的子集即上述证明$\Theta (3^n)$

时间复杂度$\Theta (n^2+2^n+3^n)$

$3^{18}=387420489$差不多能过，谁让状态压缩就是那么玄学呢

#define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie();cout.tie(0)
#pragma GCC optimize(2)
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=20;
bool ok[1<<N];
int g[N][N];
int dp[1<<N];
int main()
{
    
    
    IO;
    int T=1;
    //cin>>T;
    while(T--)
    {
    
    
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        while(m--)
        {
    
    
            int a,b;
            cin>>a>>b;
            --a,--b;
            g[a][b]=g[b][a]=1;
        }
        for(int i=0;i<1<<n;i++)
        {
    
    
            vector<int> t;
            for(int j=0;j<n;j++)
                if(i>>j&1) t.push_back(j);
            ok[i]=1;
            for(int j=0;j<t.size();j++)
                for(int k=j+1;k<t.size();k++)
                    if(!g[t[j]][t[k]]) ok[i]=0;
        }
        for(int i=0;i<1<<n;i++) dp[i]=n+1;
        dp[0]=0;
        for(int i=1;i<1<<n;i++)
        {
    
    
            if(ok[i]) dp[i]=1;
            for(int j=i;j;j=(j-1)&i)
                dp[i]=min(dp[i],dp[j]+dp[j^i]);
        }
        cout<<dp[(1<<n)-1]<<'\n';
    }
    return 0;
}

E - Or Plus Max

对于K的子集一定满足$iorj\le K$
枚举子集，记录子集的最大值和次大值，相加即可

#define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie();cout.tie(0)
#pragma GCC optimize(2)
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=500010;
int a[N];
int mx[N],f[N];
int main()
{
    
    
    IO;
    int T=1;
    //cin>>T;
    for(int ca=1;ca<=T;ca++)
    {
    
    
        int n;
        cin>>n;
        for(int i=0;i<1<<n;i++)
        {
    
    
            cin>>a[i];
            mx[i]=a[0];
        }
        for(int i=0;i<1<<n;i++)
            for(int j=i;j;j=(j-1)&i)
            {
    
    
                f[i]=max(f[i],a[j]+mx[i]);
                mx[i]=max(mx[i],a[j]);
            }
        for(int i=1;i<1<<n;i++) 
        {
    
    
            f[i]=max(f[i-1],f[i]);
            cout<<f[i]<<'\n';
        }
    }
    return 0;
}