Codeforces D. Jzzhu and Numbers 【容斥+高维前缀和】

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【考查点：容斥原理的理解，高维前缀和求解】
题意：给 $n(n<=1e6)$ 个数,每个数都小于等于$1e6$, 求其中取任意个数&值为0的方案数？
题解：我们先求解&和不为零的情况。我们令$d[x]为a_i$&$x==x$ 的所有$a_i$ 数目。对于每个 $x不为零的d[x]$ 它们中任意取数&和都不为零。其方案数为$(2^{f(x)}-1)$。
根据容斥原理所有&和不为0的方案数为

$\sum_{i=1}^{1e6}(-1)^{g(x)+1}*(2^{f(x)-1}-1)$

$所以ans=2^n-1-\sum_{i=1}^{1e6}(-1)^{g(x)+1}*(2^{f(x)-1}-1)$

由于$f(0)==n$

$ans=\sum_{i=0}^{1e6}(-1)^{g(x)}*(2^{f(x)-1}-1)$

然后求解f(x)过程就是一个求解高维前缀和过程。

ACcode

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD=1e9+7;
const int N=1<<20;
int d[N];
LL p[N];
int bt[25],n,x;
int main()
{
    for(int i=0;i<=20;i++)bt[i]=1<<i;
    p[0]=1;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&x);
        d[x]++;
        p[i]=p[i-1]<<1;
        if(p[i]>=MOD)
            p[i]-=MOD;
    }
       for(int j=0;j<=20;j++)
        for(int i=0;i<=1000000;i++)
        {
            if(i&bt[j])
                d[i^bt[j]]+=d[i];
        }
    LL ans=0,cur;
    for(int i=0;i<=1000000;i++)
    {
        if(d[i])
        {
            cur=p[d[i]]-1;
            if(__builtin_popcount(i)&1)
                ans=(ans+MOD+MOD-cur)%MOD;
            else
                ans=(ans+cur)%MOD;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
}