3天的LaTeX学习笔记 ψ｀∇´ψ、白嫖2018年河南专升本高数试卷一个——源码
开始咯，助你迅速tex(科学与艺术)入门
安装
谁得小眼睛没有看老师~
-
首先我们需要下载tex
链接:清华大学软件开源镜像站 -
楼上有得”卖“，开源可自行选择——你会占便宜的，下载可执行文件之后安装（稍微耐心等一下）
安装后（目录一定是中文，下面配置编译需要用）：
-
下载一个用于咱们新手的studio._.
链接:texstudio
-
接下来很重要——瞪大眼睛
需要对 texstudio进行配置，路径不能为中文！
测试一下
新建文件，写下，点击两个播放粘一起的快捷键f5
\documentclass{
article}
\begin{
document}
Hello,Word!
\end{
document}
LaTeX_笔记 ->可直接copy使用
\documentclass[10pt,UTF8]{
artile} % {
文本类型},[属性],支持10pt,11pt,12pt字体大小
\usepackage{
ctex} % 加载中文宏包，需要在文件类型中设置UTF8编码
\usepackage{
amsmath} % 数学宏包
\usepackage{
underscore} % 手动输入下划线 正常显示包
正文
扫描二维码关注公众号，回复：
12307419 查看本文章
% 正文
\documentclass[10pt,UTF8]{
artile} % {
文本类型},[属性],支持10pt,11pt,12pt字体大小
\usepackage{
ctex} % 加载中文宏包，需要在文件类型中设置UTF8编码
\begin{
document}
% 正文
\end{
document}
项目统计
\documentclass[10pt,UTF8]{
article}
\usepackage{
ctex} % 加载中文宏包，需要在文件类型中设置UTF8编码
\begin{
document} % 这里是正文声明
% 项目统计
% 数字
\begin{
enumerate}\setcounter{
enumi}{
0} % 从0开始
\item
\end{
enumerate}
% 蓝色三角箭头、圆圈
\begin{
itemize}
\item
\end{
itemize}
\end{
document}
图：
Tex页眉页脚及取消style下划线
\documentclass[10pt,UTF8]{
article}
\usepackage{
fancyhdr} % 页眉 页脚
\pagestyle{
fancy} % 页眉 页脚样式
\usepackage{
ctex} % 加载中文宏包，需要在文件类型中设置UTF8编码
% 页眉/页脚
\fancyhead[RE,RO]{
mik}
\lfoot{
}
\cfoot{
} % 左 中 右
\rfoot{
\thepage} % 页数l c r
\renewcommand{
\headrulewidth}{
0pt} % 设置页眉下划线,0则取消显示
\renewcommand{
\footrulewidth}{
0.4pt} % 设置页脚下划线,0则取消显示
\begin{
document}
I love you China
\end{
document}
图：
在tex页面中设置超链接及颜色
\documentclass[10pt,UTF8]{
article}
\usepackage[colorlinks,linkcolor=blue,urlcolor=blue]{
hyperref} % 链接，colorlinks表示允许链接为彩色，linkcolor=颜色，可以为超链接设置颜色
\usepackage{
ctex} % 加载中文宏包，需要在文件类型中设置UTF8编码
% 在页面中添加超链接
\begin{
document}
\href{
https://www.baidu.com}{
百度一下}
% 引用
\section{
一级标题} % 默认是从1开始，如果不是请查看修改文档类型
\subsection{
二级标题}
\label{
one}I love you China % \label{
key}给需要引用的地方添加标签
\newpage
\ref{
one} % \ref{
key}在需要引用的地方进行引用标签
\end{
document}
设置行间距
\documentclass[10pt,UTF8]{
article}
\usepackage{
setspace} % 设置间距
\usepackage{
ctex} % 加载中文宏包，需要在文件类型中设置UTF8编码
\begin{
document}
% 设置行间距
\begin{
spacing}{
1} %{
} 表示设置比例
~\\~~
I love you China!\\
me too
\end{
spacing}
\end{
document}
居中
% 居中
\documentclass[10pt,UTF8]{
artile} % {
文本类型},[属性],支持10pt,11pt,12pt字体大小
\usepackage{
ctex} % 加载中文宏包，需要在文件类型中设置UTF8编码
\begin{
document}
\begin{
center}
% 居中内容
\end{
center}
\end{
document}
生成目录
\documentclass[10pt,UTF8]{
artile} % {
文本类型},[属性],支持10pt,11pt,12pt字体大小
\usepackage{
ctex} % 加载中文宏包，需要在文件类型中设置UTF8编码
\begin{
document}
% 生成目录
\tableofcontents % 需要编译两遍
% \section*{
mik} 则不带有序号,不生成目录
% 一级标题，根据文档类型会发生序列的转变
\section{
mik}
% 二级标题，依此类推
\subsection{
mik}
% 强制新页打开
\newpage
\end{
document}
插入视频
\documentclass[10pt,UTF8]{
article}
\usepackage{
movie15} % 视频宏包
\usepackage{
ctex} % 加载中文宏包，需要在文件类型中设置UTF8编码
\begin{
document}
% 插入视频
\begin{
figure}[h!]
\includemovie
[text={
\small{
(页面显示视频名)}}
]{
3cm}{
1cm}{
video.mp4} % 后面3个{
}参数宽、高、文件名(必须与编译文件在同一目录)
\end{
figure}
\end{
document}
首行缩进
% 首行缩进
\par
插入图片
\documentclass[10pt,UTF8]{
article}
\usepackage{
graphicx} % 图片宏包
\usepackage{
ctex} % 加载中文宏包，需要在文件类型中设置UTF8编码
\begin{
document}
% 插入图片
\includegraphics[scale=0.28]{
1.png} % []显示比例，{
}文件名必须在同一目录下
\end{
document}
加粗、颜色、大小
\documentclass[10pt,UTF8]{
article}
\usepackage{
color} % 颜色宏包
\usepackage{
ctex} % 加载中文宏包，需要在文件类型中设置UTF8编码
\begin{
document}
\textbf{
I love you China!}\\ 加粗
\textcolor{
red}{
China} \\ 红色字体
\emph{
China} \\ % 斜体
\underline{
China}\\ % 加下划线
\huge{
China} \\ % 最大字体
\end{
document}
分页
\documentclass[twocolumn,10pt,UTF8]{
article} %添加twocolumn属性
\usepackage{
color} % 颜色宏包
\usepackage{
ctex} % 加载中文宏包，需要在文件类型中设置UTF8编码
\usepackage[paperwidth=36.8cm,paperheight=26cm,top=2.5cm,bottom=2cm,right=2cm]{
geometry} % 处理页面的一个宏包，下面这个可以设置正文内容布局
% \usepackage[centering,paperwidth=180mm,paperheight= ,body={
宽pt,高pt}]{
geometry}
% 单页文本宽度，修改不做删除（好习惯）
\textwidth=10cm
\oddsidemargin=0.5cm %奇数页页边距
\evensidemargin=0.5cm %偶数页页边距
\begin{
document}
\huge{
China} \\ % 最大字体
\end{
document}
制作标题
\documentclass[10pt,UTF8]{
article}
\usepackage{
ctex} % 加载中文宏包，需要在文件类型中设置UTF8编码
\title{
China}
\author{
one}
%\date{
} % 取消注释就不再显示时间
% 制作标题
\begin{
document}
\maketitle % 必须有，在正文中，才能生效，
\end{
document}
幻灯片制作
\documentclass[10pt,UTF8]{
beamer} %ppt文档类型
\usepackage{
ctex} % 加载中文宏包，需要在文件类型中设置UTF8编码
\title{
我的新页}
\author{
mik}
\date{
\today}
\begin{
document}
% beamer里重要的概念，每一个frame为一张page
\begin{
frame}
\titlepage % 标题页
\end{
frame}
\end{
document}
幻灯片模式下左右布局
\documentclass[10pt,UTF8]{
beamer} %ppt文档类型
\usepackage{
ctex} % 加载中文宏包，需要在文件类型中设置UTF8编码
\title{
我的新页}
\author{
mik}
\date{
\today}
\begin{
document}
% beamer里重要的概念，每一个frame为一张page
\begin{
frame}
\titlepage % 标题页
\end{
frame}
\begin{
frame}
\begin{
columns}[t]
\begin{
column}{
0.5\textwidth} % 左边内容类型及所占比
左页
\end{
column}
\begin{
column}{
0.5\textwidth}
右页
\end{
column}
\end{
columns}
\end{
frame}
\end{
document}
tikz绘图
\documentclass[10pt,UTF8]{
article}
\usepackage{
ctex} % 加载中文宏包，需要在文件类型中设置UTF8编码
\usepackage{
tikz} % 绘图宏包
% tikz绘图
\begin{
document}
\begin{
tikzpicture}
\draw (0,0)--(10,5); % 从00点到1010点画一条直线
\draw [color=blue!50,->](0,0) node[left]{
农村娃}-- node [color=red!70,pos=0.5,above,sloped]{
学习}(3,10) node[right]{
成就};
% []，设置的是画图属性，color=blue!50 蓝色50%，！表示替代，%表示注释
% ->表示线是一个箭头的样式，起点后面加node一个标示，pos=0.25表示标注位置在线的上方0.25%位置
% node[above,sloped]，above表示原来点上方，sloped倾斜
% 每个\draw 结束都要加上分号;
\end{
tikzpicture}
\end{
document}
% tex封面可以在网上搜索
不要走开精彩马上回来——数学模板如下，可直接copy编译
% !Mode::"TeX:UTF-8"
\documentclass[twocolumn,landscape,UTF8,12pt]{
ctexart}
\usepackage{
lastpage}
%\usepackage{
times} %use the Times New Roman fonts
\usepackage{
color}
%\usepackage{
placeins}
\usepackage{
ulem}
\usepackage{
titlesec}
\usepackage{
graphicx}
\usepackage{
colortbl}
\usepackage{
listings}
\usepackage{
makecell}
\usepackage{
indentfirst}
\usepackage{
fancyhdr}
\usepackage{
setspace} % 行间距
\usepackage{
bm}%\boldsymbol 粗体
% 数学
\usepackage{
amsmath,amsfonts,amsmath,amssymb,times}
\usepackage{
txfonts}
\usepackage{
enumerate}% 编号
\usepackage{
tikz,pgfplots} %绘图
\usepackage{
tkz-euclide,pgfplots}
\usetikzlibrary{
automata,positioning}
%\usepackage[paperwidth=18.4cm,paperheight=26cm,top=1.5cm,bottom=2cm,right=2cm]{
geometry} % 单页
\usepackage{
blindtext} % 选项
\usepackage{
tasks} % 选项宏包，tasks环境
\settasks{
label={
\Alph*.},
label-align = left,
label-offset = {
1em},
label-width = 0.5em,
item-indent = {
1.5em}, % indent = label-width + label-offset
column-sep = {
1em},
before-skip = {
-1em},
after-skip = {
-1em},
after-item-skip = 0em,
}
\usepackage[paperwidth=36.8cm,paperheight=26cm,top=2.5cm,bottom=2cm,right=2cm]{
geometry}
\lstset{
language=C,keywordstyle=\color{
red},showstringspaces=false,rulesepcolor=\color{
green}}
\oddsidemargin=0.5cm %奇数页页边距
\evensidemargin=0.5cm %偶数页页边距
%\textwidth=14.5cm %文本的宽度 单页
\textwidth=30cm %文本的宽度 单页
\newsavebox{
\zdx}%装订线
\newcommand{
\putzdx}{
\marginpar{
\parbox{
1cm}{
\vspace{
-1.6cm}
\rotatebox[origin=c]{
90}{
\usebox{
\zdx}
}}
}}
\newcommand{
\blank}{
\uline{
\textcolor{
white}{
a}\ \textcolor{
white}{
a}\ \textcolor{
white}{
a}\ \textcolor{
white}{
a}\ \textcolor{
white}{
a}\ \textcolor{
white}{
a}\ \textcolor{
white}{
a}\ \textcolor{
white}{
a}\ \textcolor{
white}{
a}\ \textcolor{
white}{
a}\ \textcolor{
white}{
a}}}
\newcommand{
\me}{
\mathrm{
e}} %定义 对数常数e，虚数符号i,j以及微分算子d为直立体。
\newcommand{
\mi}{
\mathrm{
i}}
\newcommand{
\mj}{
\mathrm{
j}}
\newcommand{
\dif}{
\mathrm{
d}}
\newcommand{
\bs}{
\boldsymbol}%数学黑体
\newcommand{
\ds}{
\displaystyle}
%通常我们使用的分数线是系统自己定义的分数线，即分数线的长度的预设值是分子或分母所占的最大宽度，如何让分数线的长度变长成，我们%可以在分子分母添加间隔来实现。如中文分式的命令可以定义为：
%\newcommand{
\chfrac[2]}{
\cfrac{
\;#1\;}{
\;#2\;}}
%\frac{
1}{
2} \qquad \chfrac{
1}{
2}
%选择题
\newcommand{
\fourch}[4]{
\\\begin{
tabular}{
*{
4}{
@{
}p{
3.5cm}}}(A)~#1 & (B)~#2 & (C)~#3 & (D)~#4\end{
tabular}} % 四行
\newcommand{
\twoch}[4]{
\\\begin{
tabular}{
*{
2}{
@{
}p{
7cm}}}(A)~#1 & (B)~#2\end{
tabular}\\\begin{
tabular}{
*{
2}{
@{
}p{
7cm}}}(C)~#3 &
(D)~#4\end{
tabular}} %两行
\newcommand{
\onech}[4]{
\\(A)~#1 \\ (B)~#2 \\ (C)~#3 \\ (D)~#4} % 一行
\renewcommand{
\headrulewidth}{
0pt}
\pagestyle{
fancy}
\begin{
document} % 在begin前面加了一个空格以免出现显示错误，编译时应该去掉
\fancyhf{
}
\fancyfoot[CO,CE]{
\vspace*{
1mm}第\,\thepage\,页 , 共 ~\pageref{
LastPage} 页}
\sbox{
\zdx}
{
\parbox{
27cm}{
\centering
%座位号~\underline{
\makebox[34mm][c]{
}}~ %班~级\underline{
\makebox[34mm][c]{
}}~\CJKfamily{
song} %学~号\underline{
\makebox[44mm][c]{
}}~\CJKfamily{
song} %姓~名\underline{
\makebox[34mm][c]{
}} ~\\
\vspace{
3mm}
% 请在所附答题纸上空出密封位置。并填写试卷序号、班级、学号和 姓名\\
% 答题时学号
\vspace{
1mm}
\dotfill{
} 密\dotfill{
}封\dotfill{
}线\dotfill{
} \\
}}
\reversemarginpar
\begin{
spacing}{
1.5}
\begin{
center}
\begin{
LARGE}
河南省2018年普通高等学校\\
选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试\\
高等数学\\
\end{
LARGE}
% (闭卷笔试\ \ 90 分钟)\\
\vspace{
0.5cm}
\end{
center}
\end{
spacing}
\vspace{
-0.5cm}
\setlength{
\marginparsep}{
1.7cm}
\putzdx %%装订线--奇页数
\vspace{
0cm}
\begin{
spacing}{
1.3}
\section*{
\hspace{
-12cm} 一、选择题~}
\vspace{
0cm}
\begin{
enumerate}\setcounter{
enumi}{
0}
\item 函数~$\bs{
f(x)=\frac{
1}{
\sqrt{
4-x^{
2}}}}$的定义域是$\qquad$~(~~)
\begin{
tasks}(4)
\task $[-2,2)$
\task $(-2,2)$
\task $(-2,2]$
\task $[-2,2]$
\end{
tasks}
\item 函数$\bs{
f(x)=(e^{
x}-e^{
-x})sinx}$是$\qquad$~(~~)
\begin{
tasks}(2)
\task 偶函数
\task 奇函数
\task 非奇非偶函数
\task 无法判断奇偶性
\end{
tasks}
\item $\bs{
\lim\limits_{
x\rightarrow\infty}\frac{
x^{
2}+1}{
2x^{
2}-x+1}}=\qquad~(~~)$
\begin{
tasks}(4)
\task 0
\task $\frac{
1}{
2}$
\task 1
\task 2
\end{
tasks}
\item 当$\bs{
x\rightarrow 0}$时,$\bs{
(1+x^{
2})^{
k}-1}\text{
与}\bs{
1-cosx}$为等价无穷小,则k的值为$\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(4)
\task 1
\task $-\frac{
1}{
2}$
\task $\frac{
1}{
2}$
\task -1
\end{
tasks}
\item 函数$\bs{
y=\frac{
x^{
2}-1}{
x^{
2}-3x+2}\text{
在}x=1}$处间断点类型为$\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(2)
\task 连续点
\task 可去间断点
\task 跳跃间断点
\task 第二类间断点
\end{
tasks}
\item 设$f(x)\text{
在}x=a$的某个领域内有定义,则$f(x)\text{
在}x=a$处可导的一个充要条件为$\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(2)
\task $\lim\limits_{
h\rightarrow0}\frac{
f(a+2h)-f(a+h)}{
h}$存在
\task $\lim\limits_{
h\rightarrow0}\frac{
f(a+h)-f(a-h)}{
2h}$存在
\task $\lim\limits_{
h\rightarrow0}\frac{
f(a)-f(a-h)}{
h}$存在
\task $\lim\limits_{
h\rightarrow\infty}h\left[f(a+\frac{
1}{
h})-f(a)\right]$存在
\end{
tasks}
\item 极限$\lim\limits_{
x\rightarrow0}\left(\bs{
x~arctan\frac{
1}{
x}-\frac{
arctan~x}{
x}}\right)=\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(4)
\task -1
\task 1
\task 0
\task 2
\end{
tasks}
\item 已知$y= x~lnx,\text{
则}y'''=\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(4)
\task $\frac{
1}{
x}$
\task $\frac{
1}{
x^{
2}}$
\task $-\frac{
1}{
x}$
\task $-\frac{
1}{
x^{
2}}$
\end{
tasks}
\item 已知二元函数$z=(2y+1)^{
x},\text{
则}\frac{
\partial z}{
\partial y}=\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(2)
\task $x(2y+1)^{
x-1}$
\task $2x(2y+1)^{
x-1}$
\task $(2y+1)^{
x}ln(2y+1)$
\task $2(2y+1)^{
x}ln(2y+1)$
\end{
tasks}
\item 曲线$y=\frac{
x^{
2}}{
x^{
2}+x-2}$的水平渐近线为$\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(4)
\task y=1
\task y=0
\task x=-2
\task x=1
\end{
tasks}
\item 下列等式正确的是$\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(2)
\task $\bs{
d\int f(x)dx = f'(x)+C}$
\task $\bs{
d\int f(x)dx = f(x)+C}$
\task $\bs{
\int f'(x)dx = f(x)+C}$
\task $\bs{
\frac{
d}{
dx}\int df(x) = f(x)}$
\end{
tasks}
\item 已知$\bs{
\int}f(x)dx=x^{
3}+C,\text{
则}\bs{
\int}xf(1-x^{
2})dx=\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(2)
\task $(1-x^{
2})^{
3}+C$
\task $\frac{
1}{
2}(1-x^{
2})^{
3}$
\task $\frac{
1}{
2}(1-x^{
2})^{
3}+C$
\task $-\frac{
1}{
2}(1-x^{
2})^{
3}+C$
\end{
tasks}
\item 设函数$\frac{
d}{
dx}\bs{
\int_{
0}^{
e^{
x}}}(1+t^{
2})dt=\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(2)
\task $(1+e^{
2x})e^{
x}$
\task $(1+e^{
x^{
2}})e^{
x}$
\task $(1+e^{
2x})e^{
2x}$
\task $(1+e^{
x^{
2}})e^{
2x}$
\end{
tasks}
\item 下列不等式成立的是$\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(2)
\task $\bs{
\int_{
0}^{
1}}xdx > \bs{
\int_{
0}^{
1}}x^{
2}dx$
\task $\bs{
\int_{
1}^{
2}}xdx > \bs{
\int_{
1}^{
2}}x^{
2}dx$
\task $\bs{
\int_{
0}^{
1}}xdx < \bs{
\int_{
0}^{
1}}x^{
2}dx$
\task $\bs{
\int_{
1}^{
2}}xdx > \bs{
\int_{
1}^{
2}}x^{
3}dx$
\end{
tasks}
\item 下列广义积分中收敛的是$\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(2)
\task $\bs{
\int_{
1}^{
+\infty}}\frac{
1}{
\sqrt{
x}}dx$
\task $\bs{
\int_{
e}^{
+\infty}}\frac{
1}{
\sqrt{
x^{
3}}}dx$
\task $\bs{
\int_{
1}^{
+\infty}}\frac{
1}{
x}dx$
\task $\bs{
\int_{
e}^{
+\infty}}\frac{
1}{
x~lnx}dx$
\end{
tasks}
\item 已知向量$\overrightarrow{
a}=\{
2,-3,1\},\overrightarrow{
b}=\{
1,-1,3\},$则其夹角的余弦为$\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(4)
\task $\frac{
8}{
\sqrt{
14}}$
\task $\frac{
8}{
\sqrt{
11}}$
\task $\frac{
8}{
\sqrt{
154}}$
\task 0
\end{
tasks}
\item 曲线$\begin{
cases}
z=y^{
2}\\
x=0
\end{
cases}$绕$z$轴旋转所得旋转曲面方程为$\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(4)
\task $z=x^{
2}+y^{
2}$
\task $z=x^{
2}-y^{
2}$
\task $z=y^{
2}-x^{
2}$
\task $z=(x+y)^{
2}$
\end{
tasks}
\item 极限$\lim\limits_{
(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{
1-cos(x^{
2}+y^{
2})}{
(x^{
2}+y^{
2})e^{
(x^{
2}+y^{
2})}}=\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(4)
\task $\frac{
1}{
2}$
\task 2
\task 1
\task 0
\end{
tasks}
\item 关于二元函数$z=f(x,y)$在点$(x_{
0},y_{
0})$处,下列说法正确的是$\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(2)
\task 可微则偏导数一定存在
\task 连续一定可微
\task 偏导存在一定可微
\task 偏导存在一定连续\\
\end{
tasks}
\item 将二次积分$\bs{
\int_{
0}^{
3}}dx\bs{
\int_{
x^{
2}}^{
3x}}f(x,y)dy$改写成另一种次序的积分是$\qquad(~~)$\\
\begin{
tasks}(2)
\task $\bs{
\int_{
0}^{
3}}dy\bs{
\int_{
y^{
2}}^{
3y}}f(x,y)dx$
\task $\bs{
\int_{
x^{
2}}^{
3x}}dx\bs{
\int_{
0}^{
3}}f(x,y)dy$
\task $\bs{
\int_{
x^{
3}}^{
3x}}dx\bs{
\int_{
0}^{
3}}f(x,y)dy$
\task $\bs{
\int_{
0}^{
9}}dy\bs{
\int_{
\frac{
y}{
3}}^{
\sqrt{
y}}}f(x,y)dx$
\end{
tasks}
\item 设L为$y=x^{
2}$抛物线介于(0,0)和$(\sqrt{
2},2)$之间的一段弧,则曲线积分$\bs{
\int_{
L}}\sqrt{
y}ds=(~~)$
\begin{
tasks}(4)
\task $\frac{
13}{
6}$
\task $-\frac{
13}{
6}$
\task $-\frac{
6}{
13}$
\task $\frac{
6}{
13}$
\end{
tasks}
\item 关于级数$\sum\limits_{
n=1}^{
\infty}\left[{
\frac{
sin(na)}{
n^{
2}}}-\frac{
1}{
\sqrt{
n}}\right]$,下列说法正确的是$\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(2)
\task 绝对收敛
\task 发散
\task 条件收敛
\task 敛散性与$a$有关
\end{
tasks}
\item 设幂级数$\sum\limits_{
n=1}^{
\infty}a_{
n}(x-1)^{
n}$在x = -1处条件收敛,则它在x = 2处$\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(4)
\task 绝对收敛
\task 条件收敛
\task 发散
\task 不确定
\end{
tasks}
\item 设$y_{
1},y_{
2},y_{
3}$是非齐次线性微分方程$y''+p(x)y'+q(x)y=\varphi(x)$三个线性无关的解,\\
则该方程的通解为$\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(2)
\task $C_{
1}y_{
1}+C_{
2}y_{
2}+C_{
3}y_{
3}$
\task $C_{
1}y_{
1}+C_{
2}y_{
2}-(C_{
1}+C_{
2})y_{
3}$
\task $C_{
1}y_{
1}+C_{
2}y_{
2}-(1-C_{
1}-C_{
2})y_{
3}$
\task $C_{
1}(y_{
1}-y_{
3})+C_{
2}(y_{
2}-y_{
3})+y_{
3}$
\end{
tasks}
\item 微分方程$(y^{
n})^{
4}+2x(y')-xy=0$的阶数为$\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(4)
\task 1
\task 2
\task 3
\task 4
\end{
tasks}
\item 平面$\pi:x+2y-3z=0$与直线$l:\frac{
x-1}{
1} = \frac{
y-1}{
2} = \frac{
z-1}{
-3}$的位置关系是$\qquad(~~)$
\begin{
tasks}(2)
\task 平行但不在平面内
\task 在平面内
\task 垂直
\task 相交但不垂直
\end{
tasks}
\item 用待定系数法求微分方程$y''-3y'+2y = xe^{
2x}$的特解$y^{
*}$时,下列$y^{
*}$的设法正确的是$(~~)$
\begin{
tasks}(2)
\task $y^{
*} = x(Ax+B)e^{
2x}$
\task $y^{
*} = (Ax+B)e^{
2x}$
\task $y^{
*} = Ax^{
2}e^{
2x}$
\task $y^{
*} = Axe^{
2x}$
\end{
tasks}
\item 若曲线积分$\bs{
\int_{
L}}(3x^{
2}y+axy^{
2})dx+(x^{
3}+8x^{
2}y+12ye^{
y})dy$在整个xoy平面内与路无关,\\
则常数a=(~~)
\begin{
tasks}(4)
\task -8
\task $-\frac{
1}{
8}$
\task $\frac{
1}{
8}$
\task 8
\end{
tasks}
\item 下列微分方程中,通解为$y=C_{
1}e^{
2x}+C_{
2}e^{
3x}$的二阶常系数齐次线性微分方程是(~)
\begin{
tasks}(2)
\task $y''-5y'+6y = 0$
\task $y''+5y'+6y = 0$
\task $y''-6y'+5y = 0$
\task $y''+6y'+5y = 0$
\end{
tasks}
\newpage
\item 对函数$f(x)=\sqrt{
x}-1$在闭区间[1,4]上应用拉格朗日中值定理时,结论中的$\xi=(~)$
\begin{
tasks}(4)
\task $\frac{
3}{
2}$
\task $\frac{
2}{
3}$
\task $\frac{
4}{
9}$
\task $\frac{
9}{
4}$
\end{
tasks}
\section*{
\hspace{
-12cm}二、填空题}
\item 已知$f(x)=e^{
x},$且$f[\varphi(x)] = 1+2x(x>0),\text{
则}\varphi(x)$$\underline{
\qquad\qquad}$
\item $\lim\limits_{
x\rightarrow\infty}\left({
\frac{
3+x}{
2+x}}\right)^{
2x}=\underline{
\qquad\qquad}$
\item 设$f(x)=\begin{
cases}
ae^{
x}+1,x<0\\
x+2,x\ge0
\end{
cases}$,在x=0处连续,则a=$\underline{
\qquad\qquad}$
\item 已知函数$y=x~sinx,\text{
则}dy=\underline{
\qquad\qquad}$
\item 曲线$\begin{
cases}
x=t\\y=t^{
2}\\z=t^{
3}
\end{
cases}$,在t=1对应的点处法平面方程为$\underline{
\qquad\qquad}$
\item 极限$\lim\limits_{
x\rightarrow\infty}\frac{
ln(1+e^{
x})}{
x}=\underline{
\qquad\qquad}$
\item 不定积分$\bs{
\int}\frac{
1}{
x^{
2}}dx=\underline{
\qquad\qquad}$
\item $\bs{
\int_{
-1}^{
1}}(x^{
2}+x~cosx)dx=\underline{
\qquad\qquad}$
\item 已知函数$f(x,y,z)=ln\sqrt{
x^{
2}+y^{
2}+z^{
2}}$,则$gradf(1,1,1)=\underline{
\qquad\qquad}$
\item 级数$\sum\limits_{
n=0}^{
\infty}2^{
n}\cdot3^{
1-n}=\underline{
\qquad\qquad}$
\newpage
\section*{
\hspace{
-12cm} 三、计算题}
\item 求极限$\lim\limits_{
x\rightarrow\infty}\frac{
tan~x-x}{
x^{
2}(e^{
x}-1)}$.
~\\
~\\
\item 已知$\begin{
cases}
x=2(t-sin~t)\\
y=2(1-cos~t)
\end{
cases},0\le x\le2\pi,\text{
求}\frac{
d^{
2}y}{
dx^{
2}}$.
~\\
~\\
\item 求不定积分$\bs{
\int}x\sqrt{
x-1}dx$.
~\\
~\\
\item 求定积分$\bs{
\int_{
1}^{
e^{
2}}}\frac{
1}{
x\sqrt{
1+ln~x}}dx$.
~\\
~\\
\item 求微分方程$y''-6y'+9y=0$的通解.
~\\
~\\
\item 求函数$f(x,y)=x^{
2}+y^{
2}+2y-2x$的极值.
~\\
~\\
\item 将函数$f(x)=ln(2+x)$展开为x-1的幂级数.
~\\
~\\
\item 设D是由$y=x,y=2x$和x=1围城的闭区域,求二重积分$\iint\limits_{
D}ydxdy$.
~\\
~\\
\item 求函数$y=3x^{
4}-4x^{
3}+2$的凹凸区间和拐点.
~\\
~\\
\item 已知函数$z=e^{
xy}+cos(x+y),$求全微分$dz.$
~\\
~\\
\section*{
\hspace{
-12cm} 四、应用题}
\vspace{
0cm}
\item 设平面图形D是由曲线$y=\frac{
1}{
x},$直线y=x及x=3所围成的部分,求D绕x轴旋转形成的旋转体的体积。
~\\
~\\
\item 某车间靠墙壁要盖一间长方形的小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大?
~\\
~\\
\section*{
\hspace{
-12cm}五、证明题}
\item 设$f(x)$在区间[0,1]内连续,在(0,1)内可导,且$f(0)=0,f(1)=\frac{
1}{
2},$证明：存在两个不同点$\xi_{
1},\xi_{
2}\in(0,1),$使得$f'(\xi_{1})+f'(\xi_{
2})=1$成立.
~\\
~\\
\end{
enumerate}
\newpage
\section*{
答案}
\begin{
enumerate}
\item B\\
解：$4-x^{
2}>0 \Rightarrow x\in(-2,2),$故选B.
\item A\\
解：$sinx,e^{
x}-e^{
-x}$都是奇函数,两个奇函数之积为偶函数,故选A
\item B\\
解：根据有理分式函数求无穷大时的极限结论知,所求极限值为最高次项系数之比,故选B.
\item C\\
解：$x\rightarrow0,(1+x^{
2})^{
k}-1\sim kx^{
2},1-cosx\sim\frac{
1}{
2}x^{
2}$,根据等价无穷小传递性,由$k=\frac{
1}{
2},$故选C.
\item B\\
解：$\lim\limits_{
x\rightarrow1}\frac{
x^{
2}-1}{
x^{
2}-3x+2} = \lim\limits_{
x\rightarrow0}\frac{
(x-1)(x+1)}{
(x-1)(x-2)} = \lim\limits_{
x\rightarrow0}\frac{
x+1}{
x-2} = -2$,但函数x=1处无定义,故为可去间断点,应选B
\item C\\
解：$f(x)$在x=a处可导时,四个选项中极限都存在,且都等于$f'(a);$\\
对于A选项,如函数$f(x)=\begin{
cases}
1,x\ne a\\
0,x=a
\end{
cases}$,在x=a处不连续不可导,但\\
$\lim\limits_{
h\rightarrow0}\frac{
f(a+2h)-f(a+h)}{
h} = \lim\limits_{
h\rightarrow0}\frac{
1-1}{
h} = 0$存在;\\
~\\
对于B选项,如函数$f(x)=|x-a|,$在x=a处不可导,但\\
$\lim\limits_{
h\rightarrow0}\frac{
f(a+h)-f(a-h)}{
2h} = \lim\limits_{
h\rightarrow0}\frac{
|h|-|h|}{
2h} = 0$存在;\\
~\\
对于C选项,$\lim\limits_{
h\rightarrow0}\frac{
f(a)-f(a-h)}{
h} = \lim\limits_{
-h\rightarrow0}\frac{
f(a-h)-f(a)}{
-h}$就是导数的定义,即有f(x)在x=a处可导,应选C.\\
~\\
对于D选项,$\lim\limits_{
h\rightarrow+\infty}\frac{
f\left({
a+\frac{
1}{
h}}\right)-f(a)}{
\frac{
1}{
h}} = \lim\limits_{
\frac{
1}{
h}\rightarrow+0}\frac{
f\left({
a+\frac{
1}{
h}}\right)-f(a)}{
\frac{
1}{
h}} = f_{
+}^{
'}(a),$不确定f(x)在x=a处可导,也是错误的。
\item A\\
解：$\lim\limits_{
x\rightarrow0}\left({
x~arctan\frac{
1}{
x}}-\frac{
arctan~x}{
x}\right) = \lim\limits_{
x\rightarrow0}x~arctan\frac{
1}{
x}-\lim\limits_{
x\rightarrow0}\frac{
arctan~x}{
x} = 0-1=-1,$应选A
\item D\\
解：$y=xlnx,y'=lnx+1,y''=\frac{1}{x},y''=-\frac{
1}{
x^{
2}},$故选D.
\item B\\
解：$z=(2y+1)^{
x},$把x看作常数,利用幂函数求导公式有$\frac{
\partial z}{
\partial y}=2x(2y+1)^{
x-1},$故选B.
\item A\\
解：$\lim\limits_{
x\rightarrow\infty}\frac{
x^{
2}}{
x^{
2}+x-2}=1,$所以水平渐近线为y=1,应选A.
\item C\\
解：根据不定积分的性质,$\bs{
\int}f'(x)dx = f(x)+C,$故选C.
\item D\\
解：$\bs{
\int}xf(1-x^{
2})dx = -\frac{
1}{
2}\bs{
\int}f(1-x^{
2})d(1-x^{
2}) = -\frac{
1}{
2}(1-x^{
2})^{
3}+C,$故选D.
\item A\\
解:$\frac{
d}{
dx}\bs{
\int_{
0}^{
e^{
x}}}(1+t^{
2})dt = (1+e^{
2x})(e^{
x})' = (1+e^{
2x})e^{
x},$故选A.
\item A\\
解：$x\in[0,1],x>x^{
2} \Rightarrow \bs{
\int_{
0}^{
1}}xdx>\bs{
\int_{
0}^{
1}}x^{
2}dx,$故选A.
\item B\\
解：四个广义积分都是$p$广义积分,只有选项B中广义积分$p=\frac{
3}{
2}>1$是收敛的,故选B.
\item C\\
解：$\overrightarrow{
a}=\{
2,-3,1\},\overrightarrow{
b}=\{
1,-1,3\},cos(\overrightarrow{
a},\overrightarrow{
b}) = \frac{
\overrightarrow{
a}\cdot\overrightarrow{
b}}{
|\overrightarrow{
a}||\overrightarrow{
b}|} = \frac{
8}{
\sqrt{
154}}$,故选C.
\item A\\
解：绕z轴旋转,z不动,y用$\pm\sqrt{
x^{
2}+y^{
2}}$代替,即$z=\left({
\pm\sqrt{
x^{
2}+y^{
2}}}\right)^{
2} = x^{
2}+y^{
2}$,故选A.
\item D\\
解：$\lim\limits_{
(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{
1-cos(x^{
2}+y^{
2})}{
(x^{
2}+y^{
2})} \begin{
array}{
ccc}
x^{
2}+y^{
2}=t\\
=~=~=
\end{
array}\lim\limits_{
t\rightarrow0}\frac{
1-cost}{
te^{
t}} = \lim\limits_{
t\rightarrow0}\frac{
t^{
2}}{
2te^{
t}} = \lim\limits_{
t\rightarrow0}\frac{
t}{
e^{
t}}= 0,$故选D.
\item A\\
解：由可微的必要条件和充分条件可知,选A.
\item D\\
解：将X型区域转化成Y型区域,$\{
{
(x,y)|0\le\,y\le\,9,\frac{
y}{
3}\le\,x\le\sqrt{
y}}\},$则可化为$\bs{
\int_{
0}^{
9}}dy\bs{
\int_{
\frac{
y}{
3}}^{
\sqrt{
y}}}f(x,y)dx,$故选D.
\item A\\
解：$L:\begin{
cases}
y=x^{
2}\\
x=x
\end{
cases}(0\le\,x\le\sqrt{
2}),\\\bs{
\int\limits_{
L}}\sqrt{
y}ds = \bs{
\int_{
0}^{
\sqrt{
2}}}\sqrt{
x^{
2}}\cdot\sqrt{
(2x)^{
2}+1^{
2}}dx = \bs{
\int_{
0}^{
\sqrt{
2}}}x\cdot\sqrt{
4x^{
2}+1dx}
\\ =
\frac{
1}{
8}\bs{
\int_{
0}^{
\sqrt{
2}}}(4x^{
2}+1)^{
\frac{
1}{
2}}d(4x^{
2}+1) = \frac{
1}{
8}\cdot\frac{
2}{
3}(4x^{
2}+1)^{
\frac{
3}{
2}}\bs{
|}_{
0}^{
\sqrt{
2}} = \frac{
13}{
6}.$故选A.
\item B\\
解：级数$\sum\limits_{
n=1}^{
\infty}\frac{
sin(na)}{
n^{
2}}$收敛,级数$\sum\limits_{
n=1}^{
\infty}\frac{
1}{
\sqrt{
n}}$发散,由级数的性质知,级数$\sum\limits_{
n=1}^{
\infty}\left[{
\frac{
sin(na)}{
n^{
2}}-\frac{
1}{
\sqrt{
n}}}\right]$发散,故选B.
\item A\\
解：令x-1=t,级数化为$\sum\limits_{
n=1}^{
\infty}a_{
n}t^{
n}$,在x=-1处原级数条件收敛,即级数$\sum\limits_{
n=1}^{
\infty}a_{
n}t^{
n}$在\\t=-2处条件收敛,x=2就是t=1,根据阿贝尔定理知,t=1时,级数$\sum\limits_{
n=1}^{
\infty}a_{
n}t^{
n}$绝对收敛,\\
即x=2时原级数绝对收敛,故选A.
\item D\\
解：$y_{
1},y_{
2},y_{
3}$是非齐次线性微分方程$y''+p(x)y'+q(x)y=\varphi(x)$三个线性无关的解,则$(y_{
1}-y_{
3}),(y_{
2}-y_{
3})$为对应齐次方程的两个无关特解,而$y_{
3}$为非齐次线性微分方程的特解,故非齐次线性微分方程通解为$C_{
1}(y_{
1}-y_{
3})+C_{
2}(y_{
2}-y_{
3})+y_{
3}$,故选D.
\item B\\
解：导数的最高阶为2,故方程的阶数为2,故选B.
\item C\\
解：平面法向量与直线方向向量相等,故直线与平面垂直,故选C.
\newpage
\item A\\
解：特征方程有两个根为$r_{
1}=1,r_{
2}=2,\lambda=2$是特征方程的单根，所以k=1,故特解$y^{
*}$设为$y^{
*} = x(Ax+B)e^{
2x}$,故选A.
\item D\\
解：$\frac{
\partial\,P(x,y)}{
\partial\,y} = 3x^{
2}+2axy,\frac{
\partial\varrho(x,y)}{
\partial\,x} = 3x^{
2}+16xy,$因为曲线积分在整个xoy平面内与路无关,则$\frac{
\partial\,P(x,y)}{
\partial\,y} = \frac{
\partial\varrho(x,y)}{
\partial\,x}\Rightarrow3x^{
2}+2axy = 3x^{
2}+16xy\Rightarrow a=8$,故选D.
\item A\\
解：特征方程的两个根为$r_{
1}=2,r_{
2}=3,$由根与系数之间关系知,p=-5,q=6,故对应的二阶常系数齐次线性微分方程是$y''-5y'+6y=0,$故选A.
\item D\\
解：$f'(\xi)=\frac{
1}{
2\sqrt{
\xi}} = \frac{
f(4)-f(1)}{
4-1} = \frac{
1-0}{
3}\Rightarrow\xi=\frac{
9}{
4}$,故选D.
\section*{
二、填空题}
\item 解：由$f(x)=e^{
x}$得$f[\varphi(x)]=e^{
\varphi(x)}$,所以有$e^{
\varphi(x)}=1+2x$,故$\varphi(x)=ln(1+2x)(x>0)$.
\item 解：$\lim\lim\limits_{
x\rightarrow\infty}\left({
\frac{
3+x}{
2+x}}\right)^{
2x} = \lim\limits_{
x\rightarrow\infty}\left[{
\left({
1+\frac{
1}{
2+x}}\right)^{
(x+2)}}\right]^{
\frac{
2x}{
x+2}}=\left[{
\lim\limits_{
x\rightarrow\infty}\left({
1+\frac{
1}{
2+x}}\right)^{
(x+2)}}\right]^{
\lim\limits_{
x\rightarrow\infty}\frac{
2x}{
x+2}} = e^{
2}$.
\item 解：函数在x=0处连续,则该点处左右极限存在且相等,还等于该点处的函数值,而$\lim\limits_{
x\rightarrow0^{
-}}f(x) = \lim\limits_{
x\rightarrow0^{
-}}(ae^{
x}+1) =a+1,\lim\limits_{
x\rightarrow0^{
+}}f(x) = \lim\limits_{
x\rightarrow0^{
+}}(x+2)=2,$所以a+1=2,即a=1.
\item 解：$dy=(x\,sinx)'dx=(sinx+x\,cosx)dx$.
\item 解：在t=1对应的点为(1,2,3),该点处曲线的切向量,即法平面向量为\\$\overrightarrow{
n}=\{
1,2t,3t^{
2}\}|_{
t=1}=\{
1,2,3\}$,故该点处的法平面方程为\\
$1\cdot(x-1)+2\cdot(y-2)+3\cdot(z-3)=0,$即$x+2y+3z-6=0$.
\item 解：$\lim\limits_{
x\rightarrow+\infty}\frac{
ln(1+e^{
x})}{
x} = \lim\limits_{
x\rightarrow+\infty}\frac{
e^{
x}}{
1+e^{
x}} =\lim\limits_{
x\rightarrow+\infty}\frac{
1}{
\frac{
1}{
e^{
x}}+1} =1$.
\item 解：$\bs{
\int}\frac{
1}{
x^{
2}}dx = -\frac{
1}{
x}+C$.
\item 解：$\int_{
-1}^{
1}(x^{
2}+x\,cosx)dx = \int_{
-1}^{
1}x^{
2}dx+\int_{
-1}^{
1}x\,cosxdx = 2\int_{
0}^{
1}x^{
2}dx = \frac{
2}{
3}x^{
3}\begin{
array}{
|c}
1\\0
\end{
array} =\frac{
2}{
3}$.
\item 解：$f(x,y,z)=ln\sqrt{
x^{
2}+y^{
2}+z^{
2}},$则$f_{
x}^{
'}(x,y,z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\\f_{y}^{'}(x,y,z)=\frac{
y}{
x^{
2}+y^{
2}+z^{
2}},f_{
z}^{
'}(x,y,z)=\frac{
z}{
x^{
2}+y^{
2}+z^{
2}}$\\故,$gradf(1,1,1)=\{
{
\frac{
x}{
x^{
2}+y^{
2}+z^{
2}},\frac{
y}{
x^{
2}+y^{
2}+z^{
2}},\frac{
z}{
x^{
2}+y^{
2}+z^{
2}}}\}|_{
(1,1,1)}=\frac{
1}{
3}\{
1,1,1\},$也可以填\\$\frac{
1}{
3}\vec{
i}+\frac{
1}{
3}\vec{
j}+\frac{
1}{
3}\vec{
k}$.
\item 解：$\sum\limits_{
n=0}^{
\infty}2^{
n}\cdot3^{
1-n}=3\sum\limits_{
n=0}^{
\infty}(\frac{
2}{
3})^{
n}=3\cdot\frac{
1}{
1-\frac{
2}{
3}} =9$.
\section*{
三、计算题}
\item 解：$\lim\limits_{
x\rightarrow0}\frac{
tanx-x}{
x^{
2}(e^{
x}-1)} = \lim\limits_{
x\rightarrow0}\frac{
tanx-x}{
x^{
2}\cdot\,x}\\=\lim\limits_{
x\rightarrow0}\frac{
sec^{
2}x-1}{
3x^{
2}}=\lim\limits_{
x\rightarrow0}\frac{
tan^{
2}x}{
3x^{
2}}=\lim\limits_{
x\rightarrow0}\frac{
x^{
2}}{
3x^{
2}}=\frac{
1}{
3}$.
\item 解：$\because\frac{
dy}{
dx}=\frac{
y_{
t}^{
'}}{x_{2}^{'}}=\frac{
sint}{
1-cost},\\\therefore\frac{
d^{
2}y}{
dx^{
2}}=\frac{
d}{
dt}(\frac{
dy}{
dx})\cdot\frac{
1}{
x_{
t}^{
'}}=(\frac{sint}{1-cost})'\frac{
1}{
2(1-cost)}\\=\frac{
cost(1-cost)-sin^{
2}t}{
(1-cost)^{
2}}~\frac{
1}{
2(1-cost)}\\=\frac{
cost-1}{
2(1-cost)^{
3}} = -\frac{
1}{
2(1-cost)^{
2}}$.
\item 解：令$\sqrt{
x-1}=t,$则$x=1+t^{
2},dx=2t\,dt,
\\\therefore\int x\sqrt{
x-1}dx=\int(1+t^{
2})t\cdot2tdt=2\int(t^{
2}+t^{
4})dt\\=2(\frac{
1}{
3}t^{
3}+\frac{
1}{
5}t^{
5})+C\\=\frac{
2}{
3}(\sqrt{
x-1})^{
3}+\frac{
2}{
5}(\sqrt{
x-1})^{
5}+C$.
\item 解：~$\int_{
1}^{
e2}\frac{
1}{
x\sqrt{
1+lnx}}dx=\int_{
1}^{
e^{
2}}\frac{
1}{
\sqrt{
1+lnx}}d(1+lnx)\\=2\sqrt{
1+lnx}|_{
1}^{
e^{
2}}= 2(\sqrt{
3}-1)$.
\item 解：这是二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为$r^{
2}-6r+9=0,$对应的特征根为$r_{
1}=r_{
2}=3$~故所求方程的通解为$y=(C_{
1}+C_{
2}x)e^{
3x}$.
\item 解：令$\begin{
cases}
\frac{
\partial^{
}f(x,y)}{
\partial\,x}=2x-2=0\\
\frac{
\partial^{
}f(x,y)}{
\partial\,y}=2y+2=0
\end{
cases}$,得唯一驻点(1,-1);\\在驻点(1,-1)处有:$A=\frac{
\partial^{
2}f(x,y)}{
\partial\,x^{
2}}=2,B=\frac{
\partial^{
2}f(x,y)}{
\partial\,x\partial\,y}=0,C=\frac{
\partial^{
2}f(x,y)}{
\partial^{
}y^{
2}}=2,\\\text{
且}B^{
2}-AC<0, A>0;\\$故点(1,-1)为f(x,y)的极小值点,且极小值f(1,-1)=-2,无极大值.
\item 解：令x-1=t,则x=1+t\\
$\therefore f(x)=ln(2+x)=ln(2+t+1)=ln3+ln(1+\frac{
t}{
3});\\$而$ln(1+x)=\sum\limits_{
n=0}^{
\infty}(-1)^{
n}\frac{
x^{
n+1}}{
n+1}(-1<x\le1);\\\text{
故}ln(2+x)=ln3+\sum\limits_{
n=0}^{
\infty}(-1)^{
n}\frac{
(\frac{
t}{
3})^{
n+1}}{
n+1}(-1<\frac{
t}{
3}\le1)=ln3+\sum\limits_{
n=0}^{
\infty}(-1)^{
n}\frac{
(x-1)^{
n+1}}{
3^{
n+1}\cdot(n+1)}(-2<x\le4)$.
\item 解：积分区域D如图所示：\\把D看作X型区域,可表示为$D=\{
{
(x,y)|0\le^{
}x\le^{
}1,x\le y\le2x}\},\\\text{
故}\iint\limits_{
D}ydxdy= \int_{
0}^{
1}dx\int_{
x}^{
2x}ydy = \int_{
0}^{
1}\frac{
(2x)^{
2}-(x)^{
2}}{
2}dx = \int_{
0}^{
1}\frac{
3x^{
2}}{
2}dx = \frac{
1}{
2}x^{
3}|_{
0}^{
1} = \frac{
1}{
2}.$\\
图：\\
\item 解：函数$y=3x^{
4}-4x^{
3}+2$的定义域为$(-\infty,+\infty)$,且$y'=12x^{3}-12x^{2},\\y''=36x^{2}-24x= 12x(3x-2),$令$y''=0,$得$x=0,x=\frac{
2}{
3},$把定义域分为三个区间,列表如下:\\
故~所求函数得凸区间为$(0,\frac{
2}{
3}),$凹区间为$(-\infty,0)\text{
和}(\frac{
2}{
3},+\infty);\text{
拐点为}(0,2),(\frac{
2}{
3},\frac{
38}{
27})$.
\newpage
\item 解法一：由于$\frac{
\partial^{
}z}{
\partial^{
}x}= ye^{
xy}-sin(x+y),\frac{
\partial^{
}z}{
\partial^{
}y}=xe^{
xy}-sin(x+y),$在定义域内为连续函数,由全微分存在的充分条件可知$dz$存在,且\\$dz=\frac{
\partial^{
}z}{
\partial^{
}x}dx+\frac{
\partial^{
}z}{
\partial^{
}y}dy= [ye^{
xy}-sin(x+y)]dx+[xe^{
xy}-sin(x+y)]dy.$\\
解法二：$dz=de^{
xy}+d\,cos(x+y)= e^{
xy}[xdy+ydx]-sin(x+y)[dx+dy]\\= [ye^{
xy}-sin(x+y)]dx+[xe^{
xy}-sin(x+y)]dy.$
\section*{
四、应用题}
\item 解：平面图形如图所示：把区域D看做X型区域，取x为积分变量，且$x\in[1,3],$平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为：\\$V_{
x}=\pi\int_{
1}^{
3}(x^{
2}-\frac{
1}{
x^{
2}})dx= \pi(\frac{
1}{
3}x^{
3}+\frac{
1}{
x})|_{
1}^{
3}= 8\pi$.\\
\item 解：设长方形的正面长为x,侧面长为y时,面积为S,则$S=xy\\\text{
且}2y+x=20,\text{
即}S=y(20-2y),\text{
则令}S'=20-4y=0,$\\则唯一可能的极值点y=5,而此时$S''=-4 <0,$\\所以 y=5是极大值点,即为最大值点,此时x=10,故~长方形小屋的长为10米,宽为5米时小屋面积最大.
\newpage
\section*{
五、证明题}
\item 证明：函数f(x)在区间$[0,\frac{
1}{
2}],[\frac{
1}{
2},1]$都满足拉格朗日中值定理,\\所以$\exists\xi_{
1}\in[0,\frac{
1}{
2}],\exists\xi_{
2}\in[\frac{
1}{
2},1],$使得$f'(\xi_{1}) = \frac{f(\frac{1}{2})-f(0)}{\frac{1}{2}-0} = 2f(\frac{1}{2}),\\ f'(\xi_{
2}) = \frac{
f(1)-f(\frac{
1}{
2})}{
1-\frac{
1}{
2}} = 1-2f(\frac{
1}{
2}),$两式相加得$f'(\xi)+f'(\eta) = 1;$\\故~在两个不同点$\xi_{
1},\xi_{
2}\in(0,1),$使得$f'(\xi_{1})+f'(\xi_{
2}) = 1$成立.
\end{
enumerate}
\end{
spacing}
\clearpage
\end{
document}