UA MATH577 逻辑与可计算性1 递归函数

写在前面

这个系列是我上课的笔记，这个课是Jan Wehr老教授的Logic and Computation，用的教材是Boolos，Burgess，Jeffrey的Computability and Logic。Jan的研究领域是随机微分方程和数学物理，对具体的算法并不熟悉，再加上这是一个topic course，不是regular course，所以不会严格按照教材的叙述进行。这个课程的主要目标是阐述Goedel不完备定理的证明，为此需要先引入三种可计算性的定义：Turing机与Turing可计算性、Abacus可计算性与递归可计算性，以及两套形式逻辑系统：一阶逻辑与二阶逻辑。在完成这个主要目标后，会介绍一些计算理论的其他专题，比如算法复杂性、P/NP问题等。

我们先从递归可计算性开始，这一讲介绍递归函数。第一个概念是effectively computable function，这类函数指的是有明确的计算规则、表达式的函数，既然计算规则都可以明确写出来，那么这类函数当然是可计算的。基于这种函数定义可计算性的话就太狭隘了，因为并不是所有不能写出表达式、计算规则的函数都是不能计算的。所以Church用递归的思想扩展了effectively computable function的概念，定义递归函数(recursive function)，这是递归可计算性(recursive computability)的基础。Church是Turing的老师，他们二人是计算理论最重要的奠基人。下面我们介绍Church定义递归函数的思路。

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三种基础函数

Church在定义递归函数的时候，首先定义了三种基础函数。

第一个基础函数是zero function，记为$z(x)$，不论什么输入 x ∈ N ∪ { 0 } x \in \mathbb{N} \cup \{0\} x∈N∪{ 0}，输出都是0，即
$$z(x)=0,\forall x$$

需要注意的是这里的自然数公理体系是Peano公理下的自然数的序数理论体系。自然数有两种公理系统，基数理论与序数理论。

第二个基础函数是successor function，记为$s(x)$，
s ( x ) = x + , ∀ x ∈ N ∪ { 0 } s(x)=x^+,\forall x \in \mathbb{N} \cup \{0\} s(x)=x+,∀x∈N∪{ 0}

上标${}^{+}$的含义是后继，这是Peano公理引入的一个运算，它表示某个自然数的下一个自然数，比如$1^{+}=2$，$2^{+}=3$，但函数$s(x)$的定义域是自然数集加0，所以我们额外再定义$0^{+}=1$。

第三个基础函数是identity function，记为$i{d}_i^n$，它满足
$$i{d}_i^n(x_1,\cdots ,x_n)=x_i$$

这个函数也叫projection function；这三个函数叫基础函数，因为他们都只需要一次运算就能得到结果。

三类创造可计算的新函数的方法

上面三种基础函数的作用是与现在要介绍的函数操作一起用于扩展effectively computable function。

复合函数

复合是我们非常熟悉的函数操作，它可以用我们熟悉的函数合成新的函数。如果用effectively computable function通过复合组成新的函数，那么新的函数也是可计算的。我们用下面的记号表示复合，
$$h=Cn[f,g_1,\cdots ,g_m]$$

它的含义是
$$h(x_1,\cdots ,x_n)=f(g_1(x_1,\cdots ,x_n),\cdots ,g_m(x_1,\cdots ,x_n))$$

例1 常值函数
用$cons{t}_n(x)=n$表示常值函数，它把任意输入$x$映射为$n$，我们可以用复合的思路说明所有常值函数是可计算的：
$$\begin{gathered} cons{t}_0=z \\ cons{t}_1=Cn[s,z] \\ \cdots \\ cons{t}_{n+1}=Cn[s,cons{t}_n] \end{gathered}$$

第一个等式非常直接，我们验证一下第二个等式，
$$C_n[s,z]=s(z)=s(0)=0^{+}=1$$

我们验证一下最后一个等式，
$$Cn[s,cons{t}_n]=s(cons{t}_n)=n^{+}=n+1$$

于是通过复合的手段，我们可以用基础函数说明常值函数可计算。

Primitive Recursive

Primitive Recursion指的是下面的递归过程：
$$\begin{gathered} h(x,0)=f(x) \\ h(x,y^{+})=g(x,y,h(x,y)) \end{gathered}$$

我们记$h=Pr[f,g]$。可以用Primitive Recursive得到和、积、阶乘等运算：

例2 Primitive Recursive的应用

1. $sum=Pr[i{d}_1^1,Cn[s,i{d}_3^3]]$
2. $prod=Pr[z,Cn[sum,i{d}_1^3,i{d}_3^3]]$
3. $fac=Cn[Pr[cons{t}_1,Cn[prod,i{d}_3^3,i{d}_2^3]],id,id]$

证明
1、在序数理论中，定义加法的思路是引入两个方程：$a+1=a^{+},a+b^{+}=(a+b{)}^{+}$，这里的自然数包含了0，因此定义加法需要$a+0=a,a+b^{+}=(a+b{)}^{+}$，所以要验证第一个等式只需要验证加法对这两个等式成立：
$$\begin{gathered} a+0=sum(a,0)=i{d}_1^1(a)=a \\ a+b^{+}=sum(a,b^{+})=Cn[s,i{d}_3^3](a,b,sum(a,b)) \\ =s(i{d}_3^3(a,b,sum(a,b)))=s(sum(a,b))=s(a+b)=(a+b{)}^{+} \end{gathered}$$

2、在叙述理论中，定义乘法的思路是引入两个方程：$a\cdot 1=a,a\cdot b^{+}=a\cdot b+a$，这里的自然数包含了0，所以我们需要额外说明$a\cdot 0=0$，所以要验证第二个等式只需要说明它满足这三个方程：
$$\begin{gathered} a\cdot 0=prod(a,0)=z(a)=0 \\ a\cdot 1=prod(a,1)=Cn[sum,i{d}_1^3,i{d}_3^3](a,0,prod(a,0)) \\ =Cn[sum,i{d}_1^3,i{d}_3^3](a,0,0)=sum(i{d}_1^3(a,0,0),i{d}_3^3(a,0,0)) \\ =sum(a,0)=a \\ a\cdot b^{+}=prod(a,b^{+})=Cn[sum,i{d}_1^3,i{d}_3^3](a,b,prod(a,b)) \\ =sum(i{d}_1^3(a,b,prod(a,b)),i{d}_3^3(a,b,prod(a,b))) \\ =sum(a,prod(a,b))=a+a\cdot b \end{gathered}$$

阶乘的构造就留给读者自行证明了，需要只需要按定义说明：
$$\begin{gathered} 0!=fac(0)=1 \\ n!=fac(n)=n\cdot (n-1)! \end{gathered}$$

即可。

Minimization

Minimization的作用是减少输入的个数，假设$f$是一个有$n+1$个输入的函数，记$h=Mn[f]$，其中
$$h(x_1,\cdots ,x_n)=\{\begin{array}{l}y,iff(x_1,\cdots ,x_n,y)=0or\\ \forall t<y,\exists f(x_1,\cdots ,x_n,t)\ne 0\\ \\ undefined,ifnosuchy\end{array}$$

如果$f$可计算，那么$h$是可计算的。