数学建模 --- 皮尔逊相关系数

相关系数

1. 皮尔逊person相关系数 — 一种线性相关系数
2. 斯皮尔曼spearman等级相关系数

衡量两个变量之间的相关性的大小，根据数据满足的不同条件选择不同的相关系数进行计算和分析

相关系数的选择

皮尔逊相关系数

1. 总体皮尔逊相关系数

• 皮尔逊相关系数反应的是一种线性相关系数

协方差的大小与两个变量的量纲有关，所以不适合比较
皮尔逊相关系数可以看成标准化后的协方差

2. 样本皮尔逊相关系数

• 样本相关系数，样本标准差分母为$n-1$是因为无偏估计量

3. 皮尔逊相关系数理解误区

• 一定要先画散点图，图中表示了线性关系(即先确定线性相关)，才能用皮尔逊相关系数

即：

皮尔逊相关系数假设检验的条件

必须判断数据是否是正态分布，此处为判断方法

描述性统计

matlab

Excel

SPSS

求相关系数过程

皮尔逊相关系数 — 一种线性相关系数

判断数据是否是正态分布

必须判断数据是否是正态分布，此处为判断方法

对多个指标画散点图

当有多个指标的时候，需要画出两两指标的散点图，使用SPSS比较方便
通过每两个指标的散点图来查看是否是线性相关(即查看是否可以使用皮尔逊相关系数)

• 在SPSS中的操作
  导入数据 --> 图形 --> 旧对话框 --> 散点图/点图 --> 矩阵散点图
  

求皮尔逊相关系数

• 在matlab操作 — corrcoef函数

[R,P] = corrcoef(A)

以A中的每一列为一组数据
R: 返回A的相关系数矩阵

P: 对于每个相关系数的 $P$值
A的某列代表所以样本的某个指标
A的某行代表一个样本

corrcoef(A,B)

返回两个随机变量A B之间的系数

将相关系数可视化

• 使用Excel
  
  例如：

对相关系数表进行显著性标注

1. matlab中：

1. 求概率密度值

tpdf(x,n)

tpdf：求t分布在点x处，自由度为n 的概率密度值
x：为指定求从负无穷到x区间
n：为自由度
例如：

x = -4:0.1:4;
y = tpdf(x,28);
plot(x,y);

概率为概率密度图与x轴的面积

2. 求p值(p为概率密度图中的面积)对应的x

x = tinv(p,n)

tinv： 代表t分布的 累计密度函数(cdf) 的反函数
p：为概率密度图中 从负无穷–>点x的 面积
n：为自由度
例如：

x = tinv(0.975,28)    % x = 2.0484

得到了对应的x
从$-\infty \to x$,使得 t分布 自由度为28，p为0.975

3. 求累计密度p
   即与x轴包围的面积

p = tcdf(x,n)

tcdf: 累计密度函数
p：为概率密度图中 从$-\infty \to x$的 面积 — 即为概率
n：自由度

4. 使用概率论与数理统计中的P值
   两种求法：

• 法1

[R,P] = corrcoef(A)  % P为该处双侧检验的P值 

• 法2
  当为单侧检验：
  $\therefore$ P = 1 - tcdf(x,n)
  当为双侧检验：
  $\therefore$ P = (1 - tcdf(x,n)) * 2

5. 该P值需要与显著性水平进行比较
   1. 自行标记：
   拒绝 | 无法拒绝
   -------- | -----
   $P<0.01说明在99\%置信水平上拒绝原假设$ | $P>0.01说明在99\%置信水平上无法拒绝原假设$
   $P<0.05说明在95\%置信水平上拒绝原假设$ | $P>0.05说明在95\%置信水平上无法拒绝原假设$
   $P<0.10说明在90\%置信水平上拒绝原假设$ | $P>0.10说明在90\%置信水平上无法拒绝原假设$

• 对相关系数表进行标记
  当$P<0.01$ 标注$\ast \ast \ast$
  当$P<0.05andP>0.01$ 标注$\ast \ast$
  当$P<0.10andP>0.05$ 标注$\ast$

2. SPSS：

分析 -> 相关 -> 双变量

• 双尾/单尾： 双侧检验/单侧检验
• 标记显著性相关性： 进行显著性标记

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参考资料：数学建模清风视频