数论之模m的n次剩余与非剩余 理论基础

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本文相应的练习和例题可以参见博文《数论之模m的n次剩余与非剩余 若干练习》.

定义1 设$m\in {\mathbb{Z}}_{>0}$有原根, $a\in \mathbb{Z}$, $\gcd \left(a,m\right)=1$, $n\in {\mathbb{Z}}_{>0}$. 若$x^n\equiv a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$有解, 则称$a$为模$m$的$n$次剩余; 若$x^n\equiv a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$无解, 则称$a$为模$m$的$n$次非剩余.

注 该定义中要求$m\in {\mathbb{Z}}_{>0}$有原根, 由博文《原根的存在性 相关定理(二)》中的定理13, $n$次剩余与非剩余的概念的讨论前提要求$m=2,4,p^k,2p^k$, 其中$p$是奇素数.

定理2  设$m\in {\mathbb{Z}}_{>0}$有原根$r$, $a\in \mathbb{Z}$, $\gcd \left(a,m\right)=1$, 则成立等价关系$$a是模m的n次剩余.\iff \gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)|\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)\text{. }\iff a^{\frac{\phi \left(m\right)}{\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)}}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m.$$

证明

1. 先证明$a$是模$m$的$n$次剩余等价于
   $$\{\begin{array}{rl}& ny\equiv \text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi \left(m\right)\\ & y=\text{in}{\text{d}}_r\left(x\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(2.1)}$$
   有解.
   $\left(\Rightarrow \right)$若$a$是模$m$的$n$次剩余, 则$\exists x_0\in \mathbb{Z}$, 成立
   $${x_0}^n\equiv a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m.\text{\hspace{1em}(2.2)}$$
   由于$\gcd \left(a,m\right)=1$, 结合式(2.2), 成立$\gcd \left({x_0}^n,m\right)=1$, 因此由博文《数论之指标(离散对数) 理论基础》中的定义4, $\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\text{ in}{\text{d}}_r\left({x_0}^n\right)$存在, 基于此可将${x_0}^n,a$视为$r$的幂, 并由博文《数论之指数和原根》中的定理5(2), 成立
   $$n\text{in}{\text{d}}_r\left(x_0\right)\equiv \text{in}{\text{d}}_r\left({x_0}^n\right)\equiv \text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi \left(m\right),$$
   其中$\phi \left(m\right)$是原根$r$对模$m$的指数, 此时式(2.1)有解
   $$\{\begin{array}{rl}& x\equiv x_0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\\ & y\equiv \text{in}{\text{d}}_r\left(x_0\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi \left(m\right)\end{array}$$
   $\left(\Leftarrow \right)$若式(2.1)有解, 设其一个解为$\{\begin{array}{rl}& x=x_0\\ & y=\text{in}{\text{d}}_r\left(x_0\right)\end{array}$, 成立
   $$\text{in}{\text{d}}_r\left({x_0}^n\right)\equiv n\text{in}{\text{d}}_r\left(x_0\right)=\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi \left(m\right),$$
   其中$\phi \left(m\right)$是原根$r$对模$m$的指数, 由博文《数论之指数和原根》中的定理5(2), 成立
   $$r^{\text{in}{\text{d}}_r\left({x_0}^n\right)}\equiv r^{\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m,$$
   即$x^n\equiv a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$有解$x=x_0$, $a$是模$m$的$n$次剩余.

2. 其次证明式(2.1)
   $$\{\begin{array}{rl}& ny\equiv \text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi \left(m\right)\text{① }\\ & y=\text{in}{\text{d}}_r\left(x\right)\text{② }\end{array}\text{\hspace{1em}(2.1)}$$
   有解等价于$\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)|\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)$.
   由博文《初等数论 课堂笔记 第二章 – 不定方程》中的定理2.1, 式①有解等价于
   $$\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)|\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right).$$
   在式①有解的前提下, 设式①的一个解为$y=y_0$, 并令②中的$y=y_0$. 由$r$是模$m$原根和博文《数论之指标(离散对数) 理论基础》中的定理1, 成立$\gcd \left(r^{y_0},m\right)=1$, 再由博文《数论之指标(离散对数) 理论基础》中的定义4, 方程$r^y\equiv r^{y_0}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$有唯一解
   $$y\equiv \text{in}{\text{d}}_r\left(r^{y_0}\right)=y_0\text{ mod}\phi \left(m\right).$$
   即在①有解的情况下, ②也一定有解$\{\begin{array}{rl}& x\equiv r^{y_0}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\\ & y=y_0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi \left(m\right)\end{array}.$
   因此式(2.1)有解 等价于 式①有解 等价于 $\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)|\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)$.

3. 最后证明成立等价关系
   $$\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)|\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right).\iff a^{\frac{\phi \left(m\right)}{\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)}}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m.$$
   事实上, 显然成立
   $$\begin{array}{rl}& \gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)|\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)\text{. }\\ & \iff \phi \left(m\right)|\frac{\phi \left(m\right)\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)}{\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)}.\\ & \iff a^{\frac{\phi \left(m\right)}{\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)}}={\left(r^{\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)}\right)}^{\frac{\phi \left(m\right)}{\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)}}=r^{\frac{\phi \left(m\right)\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)}{\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)}}\\ & =r^{k\phi \left(m\right)}={\left(r^{\phi \left(m\right)}\right)}^k\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m,\exists k\in {\mathbb{Z}}_{>0}.\end{array}$$
   
   

推论3 设$m\in {\mathbb{Z}}_{>0}$, 在模$m$的一个既约剩余系中, 有$\frac{\phi \left(m\right)}{\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)}$个$n$次剩余 (针对$n$次剩余的个数).

证明 由定理2, $a$是模$m$的$n$次剩余$\iff \gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)|\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)$, 而由博文《数论之指标(离散对数) 理论基础》中的定理1和定义4, $\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)$在模去$\phi \left(m\right)$的意I义下刚好有$\phi \left(m\right)$个, 可取遍 { 0 , 1 , ⋯   , φ ( m ) − 1 } \left\{ 0,1,\cdots ,\varphi \left( m \right)-1 \right\} { 0,1,⋯,φ(m)−1}. 因此模$m$的$n$次剩余的个数等于 { 0 , 1 , ⋯   , φ ( m ) − 1 } \left\{ 0,1,\cdots ,\varphi \left( m \right)-1 \right\} { 0,1,⋯,φ(m)−1}中$\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)$的倍数的个数$g$. 又因为$0$就是$\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)$的倍数, 因此显然有
$$g=\left[\frac{\phi \left(m\right)}{\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)}\right]=\frac{\phi \left(m\right)}{\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)}.$$

推论4 $p$是奇素数, 则在模$p$的一个既约剩余系中有$\frac{p-1}{2}$个$2$次剩余.

证明 由推论3, 在模$p$的一个既约剩余系中$2$次剩余的个数是
$$\frac{\phi \left(p\right)}{\gcd \left(2,\phi \left(p\right)\right)}=\frac{p-1}{\gcd \left(2,p-1\right)}=\frac{p-1}{2}.\left(2|p-1\right)$$

定理5 设$m\in {\mathbb{Z}}_{>0}$, $a\in \mathbb{Z}$, $\gcd \left(a,m\right)=1$, 若$a$是模$m$的$n$次剩余, 则$x^n\equiv a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$有$\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)$个解 (针对方程解的个数).

证明

1. 首先证明方程
   $$Ay=B\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M\text{\hspace{1em}(5.1)}$$
   的解在模$M$的意义下有$\gcd \left(A,M\right)$个.
   由式(5.1), $\exists z\in \mathbb{Z}$, 成立
   $$Ay+Mz=B.\text{\hspace{1em}(5.2)}$$
   由式(5.2)也能推得式(5.1)成立, 因此式(5.1)中解$y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M$的个数$=$式(5.2)中解$y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M$的个数. 若式(5.2)有特解$y_0$, 则有通解
   $$y\left(t\right)=y_0-\frac{M}{\gcd \left(A,M\right)}t,t\in \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(5.3)}$$
   若成立$y\left(t_1\right)\equiv y\left(t_2\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M$, 由式(5.3), 则有
   $$\begin{array}{rl}& y_0-\frac{M}{\gcd \left(A,M\right)}{t}_1\equiv y_0-\frac{M}{\gcd \left(A,M\right)}{t}_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M.\\ & \iff \frac{M}{\gcd \left(A,M\right)}{t}_1\equiv \frac{M}{\gcd \left(A,M\right)}{t}_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M.\\ & \iff M{t}_1\equiv M{t}_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\left(M\times \gcd \left(A,M\right)\right).\\ & \iff t_1\equiv t_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\gcd \left(A,M\right).\end{array}$$
   于是式(5.1), (5.2)中在模$M$的意义下$y$均有$\gcd \left(A,M\right)$个解.

2. 基于上面的论述, 若$a$是模$m$的$n$次剩余, 由定义1, 方程
   $$x^n\equiv a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\text{\hspace{1em}(5.4)}$$
   有解$x$. 设$m$的一个原根为$r$. 由于$\gcd \left(x^n,m\right)=\gcd \left(a,m\right)=1$, 因此$\text{in}{\text{d}}_r\left(x^n\right),\text{ in}{\text{d}}_r\left(a\right)$存在, 由博文《数论之指数和原根》中的定理5(2), 方程(5.4)解$x$满足
   $$n\text{in}{\text{d}}_r\left(x\right)\equiv \text{in}{\text{d}}_r\left(x^n\right)\equiv \text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi \left(m\right).\text{\hspace{1em}(5.5)}$$
   而由第一部分的论述, 式(5.5)解$\text{in}{\text{d}}_r\left(x\right)\text{ mod}\phi \left(m\right)$的个数为$\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)$, 而由于一个解$\text{in}{\text{d}}_r\left(x\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi \left(m\right)$对应一个解$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$, 因此解$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$的个数也为$\gcd \left(n,\phi \left(m\right)\right)$.
   
   

定理6 (指数公式) 设$m\in {\mathbb{Z}}_{>0}$有原根$r$, $a\in \mathbb{Z}$, $\gcd \left(a,m\right)=1$, 则$a$对模$m$的指数为$$\frac{\phi \left(m\right)}{\gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)}.$$

证明 设$a$对模$m$的指数为$\delta$.

1. 首先证明成立
   $$\frac{\phi \left(m\right)}{\gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)}|\delta .$$
   $\delta$是$a$对模$m$的指数, 成立
   $$a^{\delta }\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m.\text{\hspace{1em}(6.1)}$$
   $\gcd \left(a^{\delta },m\right)=\gcd \left(1,m\right)=1$, $\text{in}{\text{d}}_r\left(a^{\delta }\right),\text{ in}{\text{d}}_r\left(1\right)$存在. 对式(6.1)两边取$\text{in}{\text{d}}_r$, 由博文《数论之指数和原根》中的定理5(2), 得到
   $$\delta \text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)\equiv \text{in}{\text{d}}_r\left(a^{\delta }\right)\equiv \text{in}{\text{d}}_r\left(1\right)=0\text{ mod}\phi \left(m\right).\text{\hspace{1em}(6.2)}$$
   式(6.2)蕴涵了
   $$\phi \left(m\right)|\delta \text{in}{\text{d}}_r\left(a\right).\text{\hspace{1em}(6.3)}$$
   $\gcd \left(a,m\right)=1$, 由欧拉定理, 成立
   $$a^{\phi \left(m\right)}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m.\text{\hspace{1em}(6.4)}$$
   由式(6.4)和博文《数论之指数和原根》中的定理5(3), 成立
   $$\delta |\phi \left(m\right).\text{\hspace{1em}(6.5)}$$
   式(6.3), (6.5)蕴涵了
   $$\frac{\phi \left(m\right)}{\delta }|\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right).\text{\hspace{1em}(6.6)}$$
   由式(6.5), 也显然成立
   $$\frac{\phi \left(m\right)}{\delta }|\phi \left(m\right).\text{\hspace{1em}(6.7)}$$
   由式(6.6), (6.7)和最大公因数的性质, 得到$\frac{\phi \left(m\right)}{\delta }|\gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)$, 即有
   $$\phi \left(m\right)|\delta \gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right).\text{\hspace{1em}(6.8)}$$
   显然成立
   $$\gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)|\phi \left(m\right).\text{\hspace{1em}(6.9)}$$
   由式(6.8), (6.9), 成立
   $$\frac{\phi \left(m\right)}{\gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)}|\delta .\text{\hspace{1em}(6.10)}$$

2. 再证明成立
   $$\delta |\frac{\phi \left(m\right)}{\gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)}.$$
   事实上, 由于$r$是模$m$的原根, 成立
   $$r^{\phi \left(m\right)}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m.\text{\hspace{1em}(6.11)}$$
   基于式(6.11), 得到
   $$a^{\frac{\phi \left(m\right)}{\gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)}}\equiv {\left(r^{\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)}\right)}^{\frac{\phi \left(m\right)}{\gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)}}={\left(r^{\phi \left(m\right)}\right)}^{\frac{\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)}{\gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)}}\equiv \text{1 }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m,$$
   其中$\frac{\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)}{\gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)}\in {\mathbb{Z}}_{>0}$. 根据博文《数论之指数和原根》中的定理5(3), 立即得到
   $$\delta |\frac{\phi \left(m\right)}{\gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)}.\text{\hspace{1em}(6.12)}$$

3. 由式(6.10), (6.12), 成立
   $$\delta =\frac{\phi \left(m\right)}{\gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)}.$$
   
   

推论7 设$m\in {\mathbb{Z}}_{>0}$有原根$r$, $a\in \mathbb{Z}$, $\gcd \left(a,m\right)=1$, 则$a$是模$m$的原根当且仅当$$\gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)=1.$$

证明 $a$是模$m$的原根 蕴涵 $a$对模$m$的指数$\delta =\phi \left(m\right)$, 由定理6, 成立
$$\delta =\phi \left(m\right)=\frac{\phi \left(m\right)}{\gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)},$$
即有
$$\gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)=1.$$

定理8 设$m\in {\mathbb{Z}}_{>0}$有原根, $\delta \in {\mathbb{Z}}_{>0}$且$\delta |\phi \left(m\right)$, 则成立 ∣ { a ∈ Z :   1 ≤ a < m ,   gcd ⁡ ( a , m ) = 1 ,   a 对 模 m 的 指 数 = δ } ∣ = φ ( δ ) . \left| \left\{ a\in \mathbb{Z}:\text{ }1\le a<m,\text{ }\gcd \left( a,m \right)=1,\text{ }a对模m的指数=\delta \right\} \right|=\varphi \left( \delta \right). ∣{ a∈Z: 1≤a<m, gcd(a,m)=1, a对模m的指数=δ}∣=φ(δ).

证明 设$r$是模$m$的一个原根, 记
T = { a ∈ Z :   1 ≤ a < m ,   gcd ⁡ ( a , m ) = 1 ,   a 对 模 m 的 指 数 = δ } . (8.1) T=\left\{ a\in \mathbb{Z}:\text{ }1\le a<m,\text{ }\gcd \left( a,m \right)=1,\text{ }a对模m的指数=\delta \right\}. \tag{8.1} T={ a∈Z: 1≤a<m, gcd(a,m)=1, a对模m的指数=δ}.(8.1)
根据定理6, $a$对模$m$的指数$\delta$满足
$$\delta =\frac{\phi \left(m\right)}{\text{gcd}\left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)}.$$
因此式(8.1)可等价表示为
$$T=\left\{a\in \mathbb{Z}:1\le a<m,\gcd \left(a,m\right)=1,\text{ gcd}\left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)=\frac{\phi \left(m\right)}{\delta }\right\}.\text{\hspace{1em}(8.2)}$$
满足$1\le a<m$且$\gcd \left(a,m\right)=1$的数构成模$m$的一个既约剩余系${\rm Y}$, $\left|{\rm Y}\right|=\phi \left(m\right)$.$\forall a_1,a_2\in {\rm Y}$满足$a_1\ne a_2$, $\text{in}{\text{d}}_r\left(a_1\right)\ne \text{in}{\text{d}}_r\left(a_2\right)$; $\forall a\in {\rm Y}$, in d r ( a ) ∈ { 0 , 1 , ⋯   , φ ( m ) − 1 } \text{in}{ {\text{d}}_{r}}\left( a \right)\in \left\{ 0,1,\cdots ,\varphi \left( m \right)-1 \right\} indr​(a)∈{ 0,1,⋯,φ(m)−1}. 因此${\rm Y}$与 { 0 , 1 , ⋯   , φ ( m ) − 1 } \left\{ 0,1,\cdots ,\varphi \left( m \right)-1 \right\} { 0,1,⋯,φ(m)−1}之间存在一一对应的关系(这点很重要). 基于此, 式(8.2)可等价表示为
$$T=\left\{\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)\in \mathbb{Z}:\text{ 0}\le \text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)<\phi \left(m\right),\text{ gcd}\left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)=\frac{\phi \left(m\right)}{\delta }\right\}.\text{\hspace{1em}(8.3)}$$
由式(8.4)
$$\gcd \left(\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right),\phi \left(m\right)\right)=\frac{\phi \left(m\right)}{\delta }\text{\hspace{1em}(8.4)}$$
有$\frac{\phi \left(m\right)}{\delta }|\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)$, 可设$\text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)=\frac{\phi \left(m\right)}{\delta }u$. 则式(8.4)等价于
$$\gcd \left(\frac{\phi \left(m\right)}{\delta }u,\frac{\phi \left(m\right)}{\delta }\delta \right)=\frac{\phi \left(m\right)}{\delta }\gcd \left(u,\delta \right)=\frac{\phi \left(m\right)}{\delta },$$
蕴涵了
$$\gcd \left(u,\delta \right)=1.$$
且$0\le \text{in}{\text{d}}_r\left(a\right)<\phi \left(m\right)$也蕴涵$0\le \frac{\phi \left(m\right)}{\delta }u<\phi \left(m\right)$即
$$0\le u<\delta .$$
因此式(8.3)可等价表示为
$$T=\left\{\frac{\phi \left(m\right)}{\delta }u\in \mathbb{Z}:0\le u<\delta ,\gcd \left(u,\delta \right)=1\right\}.$$
至此显然可以看出$\left|T\right|=\phi \left(\delta \right).$ 定理8得证.

推论9 设$m\in {\mathbb{Z}}_{>0}$有原根, 则$m$的原根有$\phi \left(\phi \left(m\right)\right)$个.

证明 $m$的原根对模$m$的指数均为$\phi \left(m\right)$, 由定理8, 立即可得模$m$原根个数为$\phi \left(\phi \left(m\right)\right)$个.

定理10 设$q_1,q_2,\cdots ,q_s$是$\phi \left(m\right)$的一切不同的素因数, 则$g$是模$m$的一个原根的充分必要条件是$g$是对模$m$的$q_i\left(i=1,2,\cdots ,s\right)$次非剩余.

证明
$\left(\Rightarrow \right)$若$g$是模$m$的一个原根, 则有$\gcd \left(g,m\right)=1$. 成立
2 ≤ q i = gcd ⁡ ( q i , φ ( m ) ) ∣ in d g ( g ) = 1 ,   ∀ i ∈ { 1 , 2 , ⋯   , s } . 2\le { {q}_{i}}=\gcd \left( { {q}_{i}},\varphi \left( m \right) \right)\cancel{|}\text{in}{ {\text{d}}_{g}}\left( g \right)=1,\text{ }\forall i\in \left\{ 1,2,\cdots ,s \right\}. 2≤qi​=gcd(qi​,φ(m))∣ ​indg​(g)=1, ∀i∈{ 1,2,⋯,s}.
由定理2, $g$是对模$m$的$q_i\left(i=1,2,\cdots ,s\right)$次非剩余.

$\left(\Leftarrow \right)$若$g$是对模$m$的$q_i\left(i=1,2,\cdots ,s\right)$次非剩余, 则成立
a φ ( m ) q i = a φ ( m ) gcd ⁡ ( q i , φ ( m ) ) ≡ 1     m o d   m ,   ∀ i ∈ { 1 , 2 , ⋯   , s } . { {a}^{\frac{\varphi \left( m \right)}{ { {q}_{i}}}}}={ {a}^{\frac{\varphi \left( m \right)}{\gcd \left( { {q}_{i}},\varphi \left( m \right) \right)}}}\cancel{\equiv }1\text{ }\bmod m,\text{ }\forall i\in \left\{ 1,2,\cdots ,s \right\}. aqi​φ(m)​=agcd(qi​,φ(m))φ(m)​≡ ​1 modm, ∀i∈{ 1,2,⋯,s}.
由于$q_1,q_2,\cdots ,q_s$是$\phi \left(m\right)$的一切不同的素因数, 由博文《原根的存在性 相关定理(二)》中的定理14, $g$是模$m$的一个原根.