《混沌映射与比特重组的图像加密》（平萍等）一文的算法分析

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1. 文献原文可前往其收录处《混沌映射与比特重组的图像加密》.
2. 文献的算法流程 (包括算法勘误, 算法整理) 可以参见博文《《混沌映射与比特重组的图像加密》（平萍等）一文的算法流程》.
3. 对原文算法的改进可以参见博文《《混沌映射与比特重组的图像加密》（平萍等）一文的算法改进和展望》.
4. 对算法及其改进形式的仿真实验可以参见博文《《混沌映射与比特重组的图像加密》（平萍等）一文的仿真实验 (基于Matlab)》.
5. 对算法的性能分析可以参见博文《《混沌映射与比特重组的图像加密》（平萍等）一文的性能分析（一）-- 敏感性分析 (基于Matlab)》 以及 《《混沌映射与比特重组的图像加密》（平萍等）一文的性能分析（二）-- 相关性, 安全性强度, 计算用时分析 (基于Matlab)》.
6. 原文算法的实现可以参见博文《《混沌映射与比特重组的图像加密》（平萍等）一文的算法实现（基于Matlab）》.
   
   

算法中的若干处粗浅分析

(1) 完全离散的Henon映射
$$\{\begin{array}{rl}& x\left(n+1\right)=1-a{x}^2\left(n\right)+y\left(n\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N,\\ & y\left(n+1\right)=bx\left(n\right)+c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N,\end{array}$$
当$b=1$时是集合$A=\left\{\left(n_1,n_2\right)\in {\mathbb{Z}}_{>0}^2:1\le n_{1,2}\le N\right\}$上的双射.
证明 当$b=1$时, 表达式更新为
$$\{\begin{array}{rl}& x\left(n+1\right)=1-a{x}^2\left(n\right)+y\left(n\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N,\\ & y\left(n+1\right)=x\left(n\right)+c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N.\end{array}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

首先证明映射(1.1)是一个单射, 即证明成立推理
$$\left(x_1\left(n+1\right),y_1\left(n+1\right)\right)=\left(x_2\left(n+1\right),y_2\left(n+1\right)\right)\Rightarrow \left(x_1\left(n\right),y_1\left(n\right)\right)=\left(x_2\left(n\right),y_2\left(n\right)\right).\text{\hspace{1em}(1.2)}$$
$$\begin{array}{rl}& \left(x_1\left(n+1\right),y_1\left(n+1\right)\right)=\left(x_2\left(n+1\right),y_2\left(n+1\right)\right)\\ & \Rightarrow y_1\left(n+1\right)=y_2\left(n+1\right)\\ & \Rightarrow x_1\left(n\right)+c\equiv x_2\left(n\right)+c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N\\ & \Rightarrow x_1\left(n\right)\equiv x_2\left(n\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N\end{array}$$
由于$1\le x_{1,2}\left(n\right)\le N$, 因此成立
$$x_1\left(n\right)=x_2\left(n\right).\text{\hspace{1em}(1.3)}$$
基于式(1.3), 有以下推理
$$\begin{array}{rl}& \left(x_1\left(n+1\right),y_1\left(n+1\right)\right)=\left(x_2\left(n+1\right),y_2\left(n+1\right)\right)\\ & \Rightarrow x_1\left(n+1\right)=x_2\left(n+1\right)\\ & \Rightarrow 1-a{x_1}^2\left(n\right)+y_1\left(n\right)\equiv 1-a{x_2}^2\left(n\right)+y_2\left(n\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N\\ & \Rightarrow y_1\left(n\right)\equiv y_2\left(n\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N\end{array}$$
由于$1\le y_{1,2}\left(n\right)\le N$, 因此成立
$$y_1\left(n\right)=y_2\left(n\right).\text{\hspace{1em}(1.4)}$$
由式(1.3), 式(1.4), 推理(1.2)成立, 即映射(1.1)是一个单射.

再证明映射(1.1)是一个满射. 根据同余式的性质, 成立
$$\begin{array}{cc}\begin{array}{rl}& x\left(n+1\right)\equiv 1-a{x}^2\left(n\right)+y\left(n\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N\\ & \iff y\left(n\right)\equiv x\left(n+1\right)-1+a{x}^2\left(n\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N\end{array}& \begin{array}{rl}& y\left(n+1\right)\equiv x\left(n\right)+c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N\\ & \iff x\left(n\right)\equiv y\left(n+1\right)-c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N\end{array}\end{array}$$
得到逆推式
$$\{\begin{array}{rl}& x\left(n\right)=y\left(n+1\right)-c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N,\\ & y\left(n\right)=x\left(n+1\right)-1+a{x}^2\left(n\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N.\end{array}\text{\hspace{1em}(1.5)}$$
式(1.5)说明了$\forall \left(x\left(n+1\right),y\left(n+1\right)\right)\in A$, 总可以由式(1.5)找到对应的$\left(x\left(n\right),y\left(n\right)\right)\in A$, 使得二者成立(1.1)的映射关系, 因此映射(1.1)是一个满射.

综上, 映射(1.1)是一个双射, 可逆, 且(1.5)就是映射(1.1)对应的逆向映射. 又因为双射的复合还是一个双射, 这为算法中在$N\times N$方阵上实行若干次完全离散Henon映射的可行性提供了理论依据.

(2) Tent系统的系统方程为
$$\{\begin{array}{rl}& x\left(n+1\right)=\mu x\left(n\right),0<x\left(n\right)\le 0.5,\\ & x\left(n+1\right)=\mu \left(1-x\left(n\right)\right),0.5<x\left(n\right)<1.\end{array}\text{\hspace{1em}(2.1)}$$
即
x ( n + 1 ) = μ ⋅ min ⁡ { x ( n ) , 1 − x ( n ) } . (2.2) x\left( n+1 \right)=\mu \centerdot \min \left\{ x\left( n \right),1-x\left( n \right) \right\}. \tag{2.2} x(n+1)=μ⋅min{ x(n),1−x(n)}.(2.2)
式中要求$x\left(n\right)\in \left(0,1\right)$, 为了让$x\left(n+1\right)$也满足$x\left(n+1\right)\in \left(0,1\right)$, 由式(2.2)得到$\mu \in \left(0,2\right)$.

$0<\mu <1$时, 序列 { x ( n ) } = { x ( 1 ) , x ( 2 ) , μ x ( 2 ) , μ 2 x ( 2 ) , ⋯   } \left\{ x\left( n \right) \right\}=\left\{ x\left( 1 \right),x\left( 2 \right),\mu x\left( 2 \right),{ {\mu }^{2}}x\left( 2 \right),\cdots \right\} { x(n)}={ x(1),x(2),μx(2),μ2x(2),⋯}, 其中
x ( 2 ) = min ⁡ { x ( 1 ) , 1 − x ( 1 ) } < 0.5. x\left( 2 \right)=\min \left\{ x\left( 1 \right),1-x\left( 1 \right) \right\}<0.5. x(2)=min{ x(1),1−x(1)}<0.5.
该序列除去第1个数之后显然是一个单调递减的收敛序列, 收敛点为0.

$\mu =1$时, 序列 { x ( n ) } = { x ( 1 ) , x ( 2 ) , x ( 2 ) , x ( 2 ) , ⋯   } \left\{ x\left( n \right) \right\}=\left\{ x\left( 1 \right),x\left( 2 \right),x\left( 2 \right),x\left( 2 \right),\cdots \right\} { x(n)}={ x(1),x(2),x(2),x(2),⋯}, 其中
x ( 2 ) = min ⁡ { x ( 1 ) , 1 − x ( 1 ) } < 0.5. x\left( 2 \right)=\min \left\{ x\left( 1 \right),1-x\left( 1 \right) \right\}<0.5. x(2)=min{ x(1),1−x(1)}<0.5.

$1<\mu <2$时, 系统处于混沌状态.

需要特别注意的是, 原文献基于上面的讨论只点明算法应用Tent系统时应该控制参数$\mu >1$使得该系统是混沌的, 但是我们同时需要注意初值$x_0$ (加密算法的密钥) 的选取. 这里就只简单地讨论一点. 考虑
$$\{\begin{array}{rl}& x\left(n\right)>0.5,\\ & x\left(n\right)=\mu \left(1-x\left(n\right)\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(2.3)}$$
由第2式计算得
$$\mu =\frac{x\left(n\right)}{1-x\left(n\right)}\text{\hspace{1em}(2.4)}$$
当已经确定了Tent混沌系统参数$\mu$的值之后, 应该避免初值$x\left(1\right)$即密钥$x_0$取满足式(2.4)的值, 否则由Tent系统得到的序列除去第一位后是一个常数列 { x ( 2 ) } \left\{ x\left( 2 \right) \right\} { x(2)}.
例子 已经确定$\mu =1.5$, 令$x_0=0.6$, 则$\mu$与$x_0$满足式(2.4), 此时Tent系统产生的序列为
$$0.6,0.4,0.4,0.4,\cdots$$
已经不具备混沌性, 该序列作为密钥流, 安全性也大打折扣.
当已经确定了初值$x\left(1\right)$(即密钥$x_0$)而要选择参数$\mu \in \left(1,2\right)$时, 也是注意类似的问题.

(3) 注意到Tent混沌序列的控制参数$\mu$和初始迭代次数$k$的计算公式
$$\begin{array}{rl}& \mu =2^{s/M\times N\times 255},\\ & k={10}^3+\left(s\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{10}^3\right).\end{array}$$
中都使用到明文图像的像素值总和$s$, 因此Tent混沌序列的生成与明文图像有关, 当密钥$x_0$相同而明文图像不同时, Tent系统生成的混沌序列也不一样, 由此增强了算法的明文敏感性.

(4) 注意到算法全过程中使用到的混沌序列不是唯一的, 有长度为$M$的混沌序列$E$, 长度为$8\times N$的混沌序列$F$, 以及长度为$M\times N$的混沌序列$R$.
 由$E$产生的位置向量$P^E$用来对$M\times \left(8\times N\right)$的大比特矩阵进行整行置乱.
 由$F$产生的位置向量$P^F$用来对$M\times \left(8\times N\right)$的大比特矩阵进行整列置乱, 且$F$本身有8个分量分别参与到8个$M\times N$小比特矩阵上Henon映射参数$a_i,c_i$和映射迭代次数$n_i$的生成.
 混沌序列$R$在最后(第3阶段扩散解密)灰度加密过程中起到了作用.
 由此可见, 算法过程中综合使用了3种混沌序列来进行置乱或扩散, 算法安全性大大增强.

(5) 注意到该算法突破了置乱范围在同一比特面的限制, 具体表现在原算法中的对$M\times \left(8\times N\right)$的大比特矩阵的整列置乱环节, 使得一个比特面里的元素0或1有机会移动到另一个比特面同一行的某个位置, 再配合上之前的整行置乱环节, 实现了一个比特面里的元素0或1有机会移动到另一个比特面里的任何一个位置. 置乱的规则由混沌序列$E$和$F$所产生的位置向量$P^E$和$P^F$给出.

(6) 参照博文《《混沌映射与比特重组的图像加密》（平萍等）一文的算法流程》中的 整理后的加密算法步骤一节:
 算法涉及到置乱的主要环节有: 步骤(7)中的整行置乱, 步骤(8)中的整列置乱, 步骤(9)中每个比特矩阵上各自进行的若干次Henon映射置乱.
值得指出的是, 上面的置乱均在比特平面上进行, 按照原文的说法, 实质上既改变了像素的位置， 又改变了像素的值, 即也带有一些扩散的效果.
 算法涉及到扩散的主要环节是: 步骤(11)中的扩散加密, 该步骤的增加增强了抵御统计分析攻击的能力.

(7) 博文《《混沌映射与比特重组的图像加密》（平萍等）一文的算法流程》中的 整理后的加密算法步骤一节中的 步骤(9)中计算$a_i,c_i,n_i$的公式为
$$\begin{array}{rl}& a_i=\left[f_{N\cdot \left(i-1\right)+1}\times {10}^{14}\right]\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{2}^8,\\ & c_i=\left[{f_{N\cdot \left(i-1\right)+1}}^2\times {10}^{14}\right]\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{2}^8,\\ & n_i=1+\left(\left[f_{N\cdot \left(i-1\right)+1}\times {10}^{14}\right]\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5\right).\end{array}$$
对三个式子中$10^{14}$设置意义的说明:
 Tent混沌系统输入的初值$x_0$是0到1之间的一个小数, 控制参数$\mu$是介于$1$到$2$的一个小数. 两个小数相乘得到的结果的小数点后位数一般会更多. 由此可以看出, 在保证精度的前提下, 随着Tent系统不断产生新的值, 该新值的小数点后位数一般会不断变多. 以$a_i$的计算公式为例, $f_{N\cdot \left(i-1\right)+1}\times {10}^{14}$就是将混沌序列$F$的分量$f_{N\cdot \left(i-1\right)+1}$的小数点后14位移动到整数位上, 配合取整函数$\left[\cdot \right]$, 将第15位之后的小数删去不作使用.