西南交通大学矩阵分析2018-2019年第一学期期末考试A卷个人答案

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重点概括

基础知识，如行列式、特征值、可逆矩阵、相似对角化等，这里就不提了。

1、线性空间的判断。书P1

加法封闭性、乘法封闭性，且满足8条运算规则：加法交换律、加法结合律、存在零元素、存在负元素、1、两个系数一个向量的乘法结合律、两个系数一个向量的乘法分配律、一个系数两个向量的乘法分配律、

2、正规矩阵。书P36

满足 $A^{H}A=AA^{H}$ 的矩阵A。可以理解成正交矩阵，因为T也是H的一种。

3、矩阵范数。书P93

1范数： $||A||_{1}=$ 列模和最大者

2范数： $||A||_{2}=\sqrt{\lambda _{A^{H}A}}$ （ $\lambda _{A^{H}A}$ 是 $A^{H}A$ 的最大特征值）

无限范数： $||A||_{\infty }=$ 行模和最大者

4、奇异值

$||A||_{2}=\sqrt{\lambda _{A^{H}A}}$ ，它是第二范数，也是奇异值

5、谱半径。书P130

矩阵的特征值的模的最大者

6、广义矩阵。书P137 习题五 7

给定矩阵A，若A为行满秩，则 $A^{+}=A^{H}(AA^{H})^{-1}$ ；若A为列满秩，则 $A^{+}=(A^{H}A)^{-1}A^{H}$

7、圆盘定理。书P129

矩阵有多少行，就算多少个圆盘。

对于每一行，在对角线上的数 x+yi 的 (x,y) 作为圆盘的圆心，在这一行中，除去对角线的其他数相加作为圆盘的半径。

算出所有行的圆盘后，矩阵的特征值的范围就在圆盘的并集里面。

8、行列式因子、不变因子、初级因子。书P52-53

给定矩阵A，算出它的特征矩阵 $(\lambda E-A)$

行列式因子：n阶矩阵有n阶行列式因子，用 $D_{i}(\lambda)$ 表示。 $D_{1}(\lambda)$ 是特征矩阵 $(\lambda E-A)$ 的所有1阶行列式的公因子； $D_{2}(\lambda)$ 是特征矩阵的所有2阶行列式的公因子......； $D_{n}(\lambda)$ 就直接是特征矩阵的n阶行列式的公因子（直接就是特征多项式）

不变因子：用 $d_{i}(\lambda)$ 表示。 $d_{1}(\lambda)=D_{1}(\lambda)$ ， $d_{2}(\lambda)=\frac{D_{2}(\lambda)}{D_{1}(\lambda)}$ ...... $d_{n}(\lambda)=\frac{D_{n}(\lambda)}{D_{n-1}(\lambda)}$

初级因子：找出非常数的不变因子，把因式分解开，有次方的就不用分解开了。P53的例子讲的很清楚。