【LeetCode】37. 解数独

一、题目

编写一个程序，通过已填充的空格来解决数独问题。
一个数独的解法需遵循如下规则：

数字 1-9 在每一行只能出现一次。
数字 1-9 在每一列只能出现一次。
数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。
空白格用 ‘.’ 表示。

一个数独。答案被标成红色。

Note:

• 给定的数独序列只包含数字 1-9 和字符 ‘.’ 。
• 你可以假设给定的数独只有唯一解。
• 给定数独永远是 9x9 形式的。

二、解决

1、递归-情景模拟

版本1

思路：

逐行遍历每个空白格，在每个空白格尝试填上数字x（范围：1-9），然后检查行、列、3*3宫是否重复，若重复直接返回，回到上一格子，然后填上x+1再进行尝试。如果遍历完毕后，所有数字合格，则返回填上数字后的二维数组。

代码：

class Solution {
    
    
    public void solveSudoku(char[][] board) {
    
    
        if(board == null || board.length == 0)  return;
        solve(board);
    }
    
    public boolean solve(char[][] board){
    
    
        for(int row = 0; row < board.length; row++){
    
    
            for(int col = 0; col < board[0].length; col++){
    
    
                if(board[row][col] == '.'){
    
    
                    for(char c = '1'; c <= '9'; c++){
    
    //trial. Try 1 through 9
                        if(isValid(board, row, col, c)){
    
    
                            board[row][col] = c; //Put c for this cell
                            if(solve(board))
                                return true; //If it's the solution return true
                            else
                                board[row][col] = '.'; //Otherwise go back
                        }
                    }
                    return false;
                }
            }
        }
        return true;
    }
    
    private boolean isValid(char[][] board, int row, int col, char c){
    
    
        for(int i = 0; i < 9; i++) {
    
    
            if(board[i][col] != '.' && board[i][col] == c) return false; //check row
            if(board[row][i] != '.' && board[row][i] == c) return false; //check column
            if(board[3 * (row / 3) + i / 3][ 3 * (col / 3) + i % 3] != '.' && 
board[3 * (row / 3) + i / 3][3 * (col / 3) + i % 3] == c) return false; //check 3*3 block
        }
        return true;
    }
}

时间复杂度： $O(9^{9\ast 9})$
空间复杂度： $O(9\ast 9)$

版本2

思路：

基本与版本1相同，只不过这里将每个格子进行编号 1~81。然后通过编号推算出行列，再对行、列、宫进行数字检查，无效回溯；有效继续递归，直至最后一个。

代码：

class Solution {
    
    
    public void solveSudoku(char[][] board) {
    
    
        if (board==null || board.length<9)  return;
        solveSudokuHelper(0, board);
    }

    public boolean solveSudokuHelper(int index, char[][] board) {
    
    
        int row = index/9, col = index%9;
        if (index==81)  return true;
        else {
    
    
            if (board[row][col]!='.') return solveSudokuHelper(index+1, board);
            else {
    
    
                for (char c='1'; c<='9'; c++) {
    
    
                    if (isValid(board, row, col, c)) {
    
    
                        board[row][col] = c;
                        if (solveSudokuHelper(index+1, board))  return true;
                        else board[row][col] = '.';
                    }
                }
                return false;
            }
        }
    }

    public boolean isValid(char[][] board, int row, int col, char c) {
    
    
        for (int i=0; i<9; i++) {
    
    
            if (board[row][i]!='.' && board[row][i]==c)  return false;
            if (board[i][col]!='.' && board[i][col]==c)  return false;
            if (board[row/3*3+i/3][col/3*3+i%3]!='.' && board[row/3*3+i/3][col/3*3+i%3]==c)  return false;
        }
        return true;
    }
}

时间复杂度： $O(9^{9\ast 9})$
空间复杂度： $O(9\ast 9)$

2、位运算

思路： 暂时不太理解，略。
代码： 略
时间复杂度： $O(?)$
空间复杂度： $O(?)$

三、参考

1、Straight Forward Java Solution Using Backtracking
2、Two very Simple and Neat Java DFS/Backtracking solutions
3、Less than 30 line clean java solution using DFS
4、解数独