一、跳跃游戏 I
① 题目要求
给定一个非负整数数组，你最初位于数组的第一个位置。数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。判断你是否能够到达最后一个位置。
- 示例一：
输入: [2,3,1,1,4]
输出: true
解释: 我们可以先跳 1 步，从位置 0 到达 位置 1, 然后再从位置 1 跳 3 步到达最后一个位置。
- 示例二：
输入: [3,2,1,0,4]
输出: false
解释: 无论怎样，你总会到达索引为 3 的位置。但该位置的最大跳跃长度是 0 ， 所以你永远不可能到达最后一个位置。
② 算法思路：贪心算法
-
设想一下，对于数组中的任意一个位置 y，我们如何判断它是否可以到达？根据题目的描述，只要存在一个位置 x，它本身可以到达，并且它跳跃的最大长度为 x+nums[x]，这个值大于等于 y，即 x+nums[x]≥y，那么位置 y 也可以到达。
-
换句话说，对于每一个可以到达的位置 x，它使得 x+1,x+2,⋯,x+nums[x] 这些连续的位置都可以到达。
-
这样以来，我们依次遍历数组中的每一个位置，并实时维护 最远可以到达的位置。对于当前遍历到的位置 x，如果它在 最远可以到达的位置 的范围内，那么我们就可以从起点通过若干次跳跃到达该位置，因此我们可以用 x+nums[x] 更新最远可以到达的位置。
-
在遍历的过程中，如果最远可以到达的位置大于等于数组中的最后一个位置，那就说明最后一个位置可达，我们就可以直接返回 True 作为答案。反之，如果在遍历结束后，最后一个位置仍然不可达，我们就返回 False 作为答案。
-
以题目中的示例一 [2, 3, 1, 1, 4] 为例：
- 一开始在位置 0，可以跳跃的最大长度为 2，因此最远可以到达的位置被更新为 2；
- 遍历到位置 1，由于 1 ≤ 2，因此位置 1 可达。用 1 加上它可以跳跃的最大长度 3，将最远可以到达的位置更新为 4。由于 4 大于等于最后一个位置 4，因此直接返回 True。
-
看看题目中的示例二[3, 2, 1, 0, 4]：
- 我们一开始在位置 0，可以跳跃的最大长度为 3，因此最远可以到达的位置被更新为 3；
- 我们遍历到位置 1，由于 1 ≤ 3，因此位置 1 可达，加上它可以跳跃的最大长度 2 得到
3，没有超过最远可以到达的位置； - 位置 2、位置 3 同理，最远可以到达的位置不会被更新；
- 我们遍历到位置 4，由于 4 > 3，因此位置 4 不可达，我们也就不考虑它可以跳跃的最大长度了。
- 在遍历完成之后，位置 4 仍然不可达，因此我们返回 False。
-
C++ 算法示例：
class Solution {
public:
bool canJump(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
int rightmost = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (i <= rightmost) {
rightmost = max(rightmost, i + nums[i]);
if (rightmost >= n - 1) {
return true;
}
}
}
return false;
}
};
- Java 算法示例：
public class Solution {
public boolean canJump(int[] nums) {
int n = nums.length;
int rightmost = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (i <= rightmost) {
rightmost = Math.max(rightmost, i + nums[i]);
if (rightmost >= n - 1) {
return true;
}
}
}
return false;
}
}
- 复杂度分析：
- 时间复杂度：O(n)，其中 n 为数组的大小。只需要访问 nums 数组一遍，共 n 个位置。
- 空间复杂度：O(1)，不需要额外的空间开销。
二、跳跃游戏 II
① 题目要求
- 给定一个非负整数数组，你最初位于数组的第一个位置。
- 数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。
- 你的目标是使用最少的跳跃次数到达数组的最后一个位置。
- 示例：
输入: [2,3,1,1,4]
输出: 2
解释: 跳到最后一个位置的最小跳跃数是 2。
从下标为 0 跳到下标为 1 的位置，跳 1 步，然后跳 3 步到达数组的最后一个位置。
② 反向查找出发位置
- 我们的目标是到达数组的最后一个位置，因此可以考虑最后一步跳跃前所在的位置，该位置通过跳跃能够到达最后一个位置。
- 如果有多个位置通过跳跃都能够到达最后一个位置，那么我们应该如何进行选择呢？直观上来看，我们可以「贪心」地选择距离最后一个位置最远的那个位置，也就是对应下标最小的那个位置。因此，我们可以从左到右遍历数组，选择第一个满足要求的位置。
- 找到最后一步跳跃前所在的位置之后，我们继续贪心地寻找倒数第二步跳跃前所在的位置，以此类推，直到找到数组的开始位置。
- Java 算法示例：
class Solution {
public int jump(int[] nums) {
int position = nums.length - 1;
int steps = 0;
while (position > 0) {
for (int i = 0; i < position; i++) {
if (i + nums[i] >= position) {
position = i;
steps++;
break;
}
}
}
return steps;
}
}
- 复杂度分析
- 时间复杂度：O(n2)，其中 n 是数组长度。有两层嵌套循环，在最坏的情况下，例如数组中的所有元素都是 1，position 需要遍历数组中的每个位置，对于 position 的每个值都有一次循环。
- 空间复杂度：O(1)。
③ 正向查找可到达的最大位置
- 如果我们「贪心」地进行正向查找，每次找到可到达的最远位置，就可以在线性时间内得到最少的跳跃次数。
- 例如，对于数组 [2,3,1,2,4,2,3]，初始位置是下标 0，从下标 0 出发，最远可到达下标 2。下标 0 可到达的位置中，下标 1 的值是 3，从下标 1 出发可以达到更远的位置，因此第一步到达下标 1。
- 从下标 1 出发，最远可到达下标 4。下标 1 可到达的位置中，下标 4 的值是 4 ，从下标 4 出发可以达到更远的位置，因此第二步到达下标 4。
- 在具体的实现中，我们维护当前能够到达的最大下标位置，记为边界。我们从左到右遍历数组，到达边界时，更新边界并将跳跃次数增加 1。
- 在遍历数组时，我们不访问最后一个元素，这是因为在访问最后一个元素之前，我们的边界一定大于等于最后一个位置，否则就无法跳到最后一个位置了。如果访问最后一个元素，在边界正好为最后一个位置的情况下，我们会增加一次「不必要的跳跃次数」，因此不必访问最后一个元素.
- Java 算法示例：
class Solution {
public int jump(int[] nums) {
int length = nums.length;
int end = 0;
int maxPosition = 0;
int steps = 0;
for (int i = 0; i < length - 1; i++) {
maxPosition = Math.max(maxPosition, i + nums[i]);
if (i == end) {
end = maxPosition;
steps++;
}
}
return steps;
}
}
- 复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组长度。
- 空间复杂度：O(1)。
三、跳跃游戏 III
① 题目要求
- 有一个非负整数数组 arr，你最开始位于该数组的起始下标 start 处。当你位于下标 i 处时，你可以跳到 i + arr[i] 或者 i - arr[i]。请你判断自己是否能够跳到对应元素值为 0 的 任一 下标处。
- 注意，不管是什么情况下，你都无法跳到数组之外。
- 示例一：
输入：arr = [4,2,3,0,3,1,2], start = 5
输出：true
解释：
到达值为 0 的下标 3 有以下可能方案：
下标 5 -> 下标 4 -> 下标 1 -> 下标 3
下标 5 -> 下标 6 -> 下标 4 -> 下标 1 -> 下标 3
- 示例二：
输入：arr = [4,2,3,0,3,1,2], start = 0
输出：true
解释：
到达值为 0 的下标 3 有以下可能方案：
下标 0 -> 下标 4 -> 下标 1 -> 下标 3
- 示例三：
输入：arr = [3,0,2,1,2], start = 2
输出：false
解释：无法到达值为 0 的下标 1 处。
② 算法思路：广度优先搜索
- 我们可以使用广度优先搜索的方法得到从 start 开始能够到达的所有位置，如果其中某个位置对应的元素值为 0，那么就返回 True。
- 具体地，我们初始时将 start 加入队列。在每一次的搜索过程中，我们取出队首的节点 u，它可以到达的位置为 u + arr[u] 和 u - arr[u]。如果某个位置落在数组的下标范围 [0, len(arr)) 内，并且没有被搜索过，则将该位置加入队尾。只要我们搜索到一个对应元素值为 0 的位置，我们就返回 True。在搜索结束后，如果仍然没有找到符合要求的位置，我们就返回 False。
- C++ 算法示例：
class Solution {
public:
bool canReach(vector<int>& arr, int start) {
if (arr[start] == 0) {
return true;
}
int n = arr.size();
vector<bool> used(n);
queue<int> q;
q.push(start);
used[start] = true;
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
if (u + arr[u] < n && !used[u + arr[u]]) {
if (arr[u + arr[u]] == 0) {
return true;
}
q.push(u + arr[u]);
used[u + arr[u]] = true;
}
if (u - arr[u] >= 0 && !used[u - arr[u]]) {
if (arr[u - arr[u]] == 0) {
return true;
}
q.push(u - arr[u]);
used[u - arr[u]] = true;
}
}
return false;
}
};
- 复杂度分析
- 时间复杂度：O(N)，其中 N 是数组 arr 的长度。
- 空间复杂度：O(N)。