第三讲 多重背包问题(对背包九讲的学习)

题目

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路:

对每个物品都考虑拿几个(这个很好理解)

递推式:f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

时间复杂度是O(V*Σn[i])

转换为为01背包问题:

这里利用了二进制的性质优化

时间复杂度:O(V*Σlog n[i])

例子1:(注意看数字的颜色)

7个物品i的多重背包问题=01背包问题(物品1=1个物品i,物品2=2个物品i,物品3=4个物品i,,,)

2^0+2^1+2^2=7　　7-7=0,不用补了

例子2:

8个物品i的多重背包问题=01背包问题(物品1=1个物品i,物品2=2个物品i,物品3=4个物品i,物品4=1个物品i)//蓝色地方是补到8

1+2+4=7 < 8　　　　8-7=1,再补个1

注意每次选的时候还是要判断是否空间超出了

例子3:

5个物品i的多重背包问题=01背包问题(物品1=1个物品i,物品2=2个物品i,物品3=2个物品i)//蓝色地方是补到5

1+2=3<5　　5-3=2,再补个2

比方说例子3我们看到了,物品1,物品2,物品3可以组合成0~5的任何数

这样一来,就从多重背包转换成了01背包

 继续优化:

图片截图自 背包九讲

最后那个O(Vn)的方法我还没学,先放着,以后其他学完了再学他