1.概述

分治算法的主要思想是将原问题递归地分成若干个子问题，直到子问题满足边界条件，停止递归。将子问题逐个击破(一般是同种方法)，将已经解决的子问题合并，最后，算法会层层合并得到原问题的答案。

分治算法的步骤：

分：递归地将问题分解为各个的子问题(性质相同的、相互独立的子问题)；
治：将这些规模更小的子问题逐个击破；
合：将已解决的子问题逐层合并，最终得出原问题的解；

2.leetcode 题目练习

2.1 第169题. 多数元素

在这里插入图片描述
在未用分治之前，我的想法是通过python的set可以高效过滤list重复元素的特性，然后内置方法计数来输出唯一众数。

class Solution:
    def majorityElement(self, nums: List[int]) -> int:
        for i in set(nums):
            if nums.count(i)>len(nums)/2:
                return i
                break

结果似乎还不错
在这里插入图片描述
使用分治(时间复杂度较高)：

class Solution(object):
    def majorityElement2(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        # 【不断切分的终止条件】
        if not nums:
            return None
        if len(nums) == 1:
            return nums[0]
        # 【准备数据，并将大问题拆分为小问题】
        left = self.majorityElement(nums[:len(nums)//2])
        right = self.majorityElement(nums[len(nums)//2:])
        # 【处理子问题，得到子结果】
        # 【对子结果进行合并 得到最终结果】
        if left == right:
            return left
        if nums.count(left) > nums.count(right):
            return left
        else:
            return right

该题最优解法应该为摩尔投票法（时间复杂度为O(n)）

class Solution:
    def majorityElement(self, nums: List[int]) -> int:
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        major = 0
        count = 0
        for n in nums:
            if count == 0:
                major = n
            if n == major:
                count = count + 1
            else:
                count = count - 1

        return major

2.2 第53 题最大子序和

在这里插入图片描述
首先我使用的是伪回溯法，temp求连续和，如果temp小于零，说明当前肯定不是最大和子串，求和起点重新设置为当前数。最大和子串会在不断求最大值中取到。
时间复杂度O(n)

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        
        temp=nums[0]
        max_=temp
        for i in range(1,len(nums)):
            if temp>0:                
                temp+=nums[i]
                max_=max(max_,temp)

            else:
                temp=nums[i]
                max_=max(max_,temp)
        return max_

更为精妙的分治法

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        if n == 1:
            return nums[0]

        # 【准备数据，并将大问题拆分为小的问题】
        left = self.maxSubArray(nums[:len(nums)//2])
        right = self.maxSubArray(nums[len(nums)//2:])

        # 【处理小问题，得到子结果】
        #　从右到左计算左边的最大子序和
        max_l = nums[len(nums)//2 -1] # max_l为该数组的最右边的元素
        tmp = 0 # tmp用来记录连续子数组的和
        
        for i in range( len(nums)//2-1 , -1 , -1 ):# 从右到左遍历数组的元素
            tmp += nums[i]
            max_l = max(tmp ,max_l)
            
        # 从左到右计算右边的最大子序和
        max_r = nums[len(nums)//2]
        tmp = 0
        for i in range(len(nums)//2,len(nums)):
            tmp += nums[i]
            max_r = max(tmp,max_r)
            
        # 【对子结果进行合并 得到最终结果】
        # 返回三个中的最大值
        return max(left,right,max_l+ max_r)

2.3 第50题 Pow(x, n)

在这里插入图片描述

快速幂算法（分治时间复杂度O(n)）

class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        if x == 0.0: return 0.0
        res = 1
        if n < 0: x, n = 1 / x, -n
        while n:
            if n & 1: res *= x
            x *= x
            n >>= 1
        return res

3.总结

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换）。
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

可使用分治法求解的一些经典问题

（1）二分搜索
（2）大整数乘法
（3）Strassen矩阵乘法
（4）棋盘覆盖
（5）合并排序
（6）快速排序
（7）线性时间选择

（8）最接近点对问题
（9）循环赛日程表
（10）汉诺塔

参考

分治算法详解（超详细）

本次学习资料来自datawhale及LeetCode

leetcode task01-分治