黑白球 概率 动态规划

黑白球

题目描述

一个箱子里面有n个黑球m个白球。你每小时都随机从箱子里面抽出两个小球，然后把这两个球都染成黑球，然后再放回去。问需要多少小时才能把所有小球变成黑色小球？输出期望值。

输入格式

多组测试数据。

第一行，一个整数G，表示有G组测试数据。$1<=G<=10$

每组测试数据格式如下:

一行，两个整数，n和m。$1<=n$,$m<=47$。

输出格式

共G行，每行一个实数。误差不能超过0.00001。

输入样例

5
1 1
2 1
1 2
4 7
1 3

输出样例

1.0
1.5
2.0
13.831068977298521
3.4

解题思路

题目大意：有黑白两种球，求将全部球染成黑球的操作次数期望值。

经过一段时间的思考，我们可以发现本题用动态规划解决是比较方便的，可以用二维的动态规划；因为题目中只有两种颜色的球，所以这里采用较方便的一维。

我们设$f[i]$表示盒子里有$i$个黑球，还要多少小时才能变成$n+m$个黑球。很显然，白球数量就是$n+m-i$个。

根据题意，我们要从最开始的$n$个黑球$f[n]$推到全部变为黑球$f[n+m]$。

那么$f[i]$是怎么推来的呢？抽球的概率又怎么计算呢？

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首先，我们分类讨论：

对于第$i$次操作：

1. 抽到两个黑球
2. 抽到两个白球
3. 先抽到黑球，再抽到白球
4. 先抽到白球，再抽到黑球

对于以上四种情况，我们有以下四条概率计算式：

1. 抽到两个黑球的概率是：
   $\frac{i}{n+m}\times \frac{i-1}{n+m-1}$
2. 抽到两个白球的概率是：
   $\frac{n+m-i}{n+m}\times \frac{n+m-i-1}{n+m-1}$
3. 先抽到黑球，再抽到白球的概率是：
   $\frac{i}{n+m}\times \frac{n+m-i}{n+m-1}$
4. 先抽到白球，再抽到黑球的概率是：
   $\frac{n+m-i}{n+m}\times \frac{i}{n+m-1}$

那么，对于第$i$次操作，我们运用倒推的方法就可以将式子推出来了。

$f[i]=1+f[i]\times \frac{i}{n+m}\times \frac{i-1}{n+m-1}+f[i-2]\times \frac{n+m-i}{n+m}\times \frac{n+m-i-1}{n+m-1}+f[i-1]\times \frac{i}{n+m}\times \frac{n+m-i}{n+m-1}+f[i-1]\times \frac{n+m-i}{n+m}\times \frac{i}{n+m-1}$

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到了这一步，不知大家发现一个问题没有，$f[i]$在运算过程中，乘了一遍它自己，那么怎么解决这个问题呢？

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利用数学知识：等式两边加一个相同的数，等式仍成立

我们不妨将$f[i]\times \frac{i}{n+m}\times \frac{i-1}{n+m-1}$这一项移到左边去。

$f[i]-f[i]\times \frac{i}{n+m}\times \frac{i-1}{n+m-1}=1+f[i-2]\times \frac{n+m-i}{n+m}\times \frac{n+m-i-1}{n+m-1}+f[i-1]\times \frac{i}{n+m}\times \frac{n+m-i}{n+m-1}+f[i-1]\times \frac{n+m-i}{n+m}\times \frac{i}{n+m-1}$

$(1-\frac{i}{n+m}\times \frac{i-1}{n+m-1})\times f[i]=1+f[i-2]\times \frac{n+m-i}{n+m}\times \frac{n+m-i-1}{n+m-1}+f[i-1]\times \frac{i}{n+m}\times \frac{n+m-(i-1)}{n+m-1}+f[i-1]\times \frac{n+m-i}{n+m}\times \frac{i}{n+m-1}$

至此，再将$(1-\frac{i}{n+m}\times \frac{i-1}{n+m-1})$移回右边。

$f[i]=\frac{1+f[i-2]\times \frac{n+m-i}{n+m}\times \frac{n+m-i-1}{n+m-1}+f[i-1]\times \frac{i}{n+m}\times \frac{n+m-i}{n+m-1}+f[i-1]\times \frac{n+m-i}{n+m}\times \frac{i}{n+m-1}}{(1-\frac{i}{n+m}\times \frac{i-1}{n+m-1})}$

这就是最终的动态规划式子了

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代码：

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>

using namespace std;
int n,m,G;
double f[255],p1,p2,p3;

int main()
{
    
    
	freopen("2829.in","r",stdin);
	freopen("2829.out","w",stdout);
     cin>>G;
	 for(int gr=1;gr<=G;gr++)
	 {
    
    
		 cin>>n>>m;
		 f[n+m+1]=f[n+m]=0.0;
		 for(int i=n+m-1;i>=n;i--)//倒推
		 {
    
    
			 //f[i]:当前有i个黑球，还要多少个小时才能变成n+m个黑球
			 //操作一次得到三种情况，转移到相应的子问题
			 p1=(double(i)/double(n+m))*(double(i-1)/double(n+m-1));//两个黑球
			 p2=(double(n+m-i)/double(n+m))*(double(n+m-1-i)/double(n+m-1));//两个白球
			 p3=(double(i)/double(n+m))*(double(n+m-i)/double(n+m-1));//先摸到黑球后摸到白球
			 p3+=(double(n+m-i)/double(n+m))*(double(i)/double(n+m-1));//先摸到白球后摸到黑球
			 f[i]=(p2*f[i+2]+p3*f[i+1]+1.00)/(1.00-p1);
		 }
		 printf("%.6lf\n",f[n]);
	 }
    return 0;
}