Activation

题目：
https://ac.nowcoder.com/acm/problem/122638

有$n$个人排队等着在官网上激活游戏。$Tomato$排在第$m$个。
对于队列中的第一个人。有以下情况：
1、激活失败，留在队列中等待下一次激活(概率为$p_1$)
2、失去连接，出队列，然后排在队列的最后(概率为$p_2$)
3、激活成功，离开队列(概率为$p_3$)
4、服务器瘫痪，服务器停止激活，所有人都无法激活了(概率$p_4$)。
求服务器瘫痪时$Tomato$在队列中的位置$<=k(k\ge 1)$的概率。

思路：
令$f(i,j)$表示队列中有$i$个人，$Tomato$在第$j$个时的状态到最终要求状态的概率，有
$$f(i,j)=\{\begin{array}{l}{p}_{1}f(i,j)+p_{2}f(i,i)+p_{4}j=1\\ p_{1}f(i,j)+p2f(i,j-1)+p_{3}f(i-1,j-1)+p_{4}2\le j\le k\\ p_{1}f(i,j)+p2f(i,j-1)+p_{3}f(i-1,j-1)j\ge k+1\end{array}$$
分析一下$4$种情况会到哪些状态即可。移项得
$$f(i,j)=\{\begin{array}{l}\frac{p_{2}f(i,i)+p_4}{1-p_1}j=1\\ \frac{p2f(i,j-1)+p_{3}f(i-1,j-1)+p_4}{1-p_1}2\le j\le k\\ \frac{p2f(i,j-1)+p_{3}f(i-1,j-1)}{1-p_1}j\ge k+1\end{array}$$

• 会发现有环存在，不能递推，要解方程。但是发现构成环的都是$i$相同的(从题目分析也能看出，总人数不变会一直循环)，但是环与环之间能递推(因为人数只会变少不会变多)。也就是说环内要解方程，环与环递推即可。
• 通过$f(1,1)=\frac{p_{2}f(1,1)+p_4}{1-p_1}$，求出初始值.
  因为环与环之间递推，所以在算$f(i,j)$时，$f(i-1,j-1)$都求出来了，所以上面式子$f(i-1,j-1)$项和常数项都当成已知，他们的和用$C$数组表示，用$P$表示$\frac{p_2}{1-p_1}$
  $$\{\begin{array}{l}f(i,1)=Pf(i,i)+C(1)\\ f(i,2)=Pf(i,1)+C(2)\\ f(i,3)=Pf(i,2)+C(3)\\ ...\\ f(i,i-1)=Pf(i,i-2)+C(i-1)\\ f(i,i)=Pf(i,i-1)+C(i)(1)\end{array}$$
  从倒数第二项开始一直迭代到$(1)$里面，得
  $$\begin{array}{rl}f(i,i)& =P^i\ast f(i,i)+\sum _{j=0}^{i-1}{P}^j\ast C(i-j)\\ f(i,i)& =\frac{1}{1-P^i}\ast \sum _{j=0}^{i-1}{P}^j\ast C(i-j)\end{array}$$
  然后再带到每个方程里。
  注意特判分母为0的情况

#include<stdio.h>
#define maxn 2005
double dp[maxn][maxn];
double x2_power[maxn];
double c[maxn];
 
int main()
{
    
    
    int N,M,K;
    double p1,p2,p3,p4;
    while(scanf("%d%d%d",&N,&M,&K)!=EOF)
    {
    
    
        scanf("%lf%lf%lf%lf",&p1,&p2,&p3,&p4);
        if(p1==1||p1+p2==1)
        {
    
    
            printf("%.5lf\n",0);
            continue;
        }
        double x2,x3,x4;
        x2=p2/(1-p1);
        x3=p3/(1-p1);
        x4=p4/(1-p1);
        x2_power[0]=1.0;
        for(int i=1;i<maxn;i++)
            x2_power[i]=x2_power[i-1]*x2;
        dp[1][1]=x4/(1-x2);
        for(int i=2;i<=N;i++)
        {
    
    
            c[1]=x4;
            for(int j=2;j<=K;j++)
                c[j]=x3*dp[i-1][j-1]+x4;
            for(int j=K+1;j<=i;j++)
                c[j]=x3*dp[i-1][j-1];
            double C=0;
            for(int j=1;j<=i;j++)
                C+=c[j]*x2_power[i-j];
            dp[i][i]=C/(1-x2_power[i]);
            dp[i][1]=dp[i][i]*x2+x4;
 
            for(int j=2;j<i;j++)
            {
    
    
                dp[i][j]=x2*dp[i][j-1]+c[j];
            }
        }
        printf("%.5lf\n",dp[N][M]);
    }
    return 0;
}