【模板】差分约束算法（两种方法）

$$【模板】差分约束算法$$

题目链接：$\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{P}5960$

题目

给出一组包含 $m$ 个不等式，有 $n$ 个未知数的形如：

的不等式组，求任意一组满足这个不等式组的解。

输入

第一行为两个正整数 $n,m$，代表未知数的数量和不等式的数量。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $c,c^{\prime },y$，代表一个不等式 $x_c-x_{c^{\prime }}\le y$。

输出

一行，$n$ 个数，表示 $x_1,x_2\cdots x_n$ 的一组可行解，如果有多组解，请输出任意一组，无解请输出 NO。

样例输入

3 3
1 2 3
2 3 -2
1 3 1

样例输出

5 3 5

样例解释

一种可行的方法是 $x_1=5,x_2=3,x_3=5$。

数据范围

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n,m\le 5\times 10^3$，$-10^4\le y\le 10^4$，$1\le c,c^{\prime }\le n$，$c\ne c^{\prime }$。

评分标准

你的答案符合该不等式组即可得分，请确保你的答案中的数据在 int 范围内。

如果并没有答案，而你的程序给出了答案，SPJ 会给出 There is no answer, but you gave it，结果为 WA；
如果并没有答案，而你的程序输出了 NO，SPJ会给出 No answer，结果为 AC；
如果存在答案，而你的答案错误，SPJ 会给出 Wrong answer，结果为 WA；
如果存在答案，且你的答案正确，SPJ 会给出 The answer is correct，结果为 AC。

思路

一道模板题。

差分约束就是给你许多不等式，你要在这些约束下，找到一组解。
我们来看不等式：$x_1-x_2\le y_1$

这时候有两个选择：
（代码我写的是最长路的，因为最短路代码没有太大区别，我就直接在要改的地方加注释）

最长路

我们可以把它化成这个式子：$x_2\ge x_1-y_1$

我们再想一想最长路，可以发现最后求出来的 $dis[y]\ge dis[x]+w_{x,i}$。（$w_{x,i}$ 就是从 $x$ 到 $y$ 的每一条边）
诶？怎么跟上面的式子那么像！
（边权可以是 $-y_1$）

那其实我们就可以按这样建图，然后跑最长路，可以发现没有解就是存在正环的情况。

当然为了避免不连通，我们还弄一个超级源点，连向所有点，距离为 $0$。

最短路

当然，我们还能化成这个：$x_1\le x_2+y_1$

当然就是和最短路匹配了，没有解就是存在负环，当然也要弄源点。

代码（最长路）

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

struct node {
    
    
	int x, to, next;
}e[50001];
int n, m, a, b, c, d, le[50001], dis[50001], kk, num[50001];
bool in[50001];

void add(int x, int y, int z) {
    
    
	e[++kk] = (node){
    
    z, y, le[x]}; le[x] = kk;
}

bool spfa() {
    
    
	queue <int> q;
	q.push(0);
	in[0] = 1;
	num[0]++;
	
	while (q.size()) {
    
    
		int now = q.front();
		q.pop();
		
		for (int i = le[now]; i; i = e[i].next)
			if (dis[now] + e[i].x > dis[e[i].to]) {
    
    
			//if (dis[now] + e[i].x < dis[e[i].to]) {（最短路把大于号改成小于号）
				dis[e[i].to] = dis[now] + e[i].x;
				if (!in[e[i].to]) {
    
    
					in[e[i].to] = 1;
					num[e[i].to]++;
					if (num[e[i].to] == n) return 0;//判断正环（最短路就是负环）
					q.push(e[i].to);
				}
			}
		
		in[now] = 0;
	}
	
	return 1;
}

int main() {
    
    
	memset(dis, -0x7f, sizeof(dis));
	//memset(dis, 0x7f, sizeof(dis));（最短路把符号去掉）
	dis[0] = 0;//初始化
	
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
    
    
		scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
		add(a, b, -c);//建图
		//add(b, a, c);（最短路就这样建图）
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)//连超级源点
		add(0, i, 0);
	
	if (!spfa()) printf("NO");//有正环，就没有解（最短路是负环）
		else {
    
    
			for (int i = 1; i <= n; i++)
				printf("%d ", dis[i]);//输出
		}
	
	return 0;
}