智能优化算法：水循环算法-附代码
摘要：水 循 环 算 法 （water cycle alogrithm,WCA）是由Hadi Eskandar 等人受大自然水循环过程中溪流、江河、湖泊流向海洋的过程启发而提出的一种全局优化算法．目前WCA已在工程优化等领域得到应用．
1.算法原理
WCA 是一种生物启发的优化算法，它模拟自然界中的水循环过程，在种群中设定 3 类个体：海洋 Sea、河流River 及溪流 Stream. 海洋为当前种群的最优个体，河流为一定数量的仅次于海洋的个体，剩余较差的个体即为溪流.
算法开始之前需要生成大小为 N p o p ∗ D N_{pop}*D Npop∗D 的初始总群体，其中 N p o p N_{pop} Npop是种群的总数量， D D D是设计变量的个数，因此这个随机矩阵为 :
[ S e a R i v e r 1 R i v e r 2 . . . . S t r e a m N s r + 1 S t r e a m N s r + 2 . . . S t r e a m N p o p ] = [ x 1 1 x 2 1 . . . x D 1 x 1 2 x 2 2 . . . x D 2 . . . . . . . . . . . . x 1 N p o p x 2 N p o p . . . x D N p o p ] (1) \left[\begin{matrix} Sea\\ River_1\\ River_2\\ ....\\ Stream_{N_{sr}+1}\\ Stream_{N_{sr}+2}\\ ... Stream_{N_{pop}} \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} x_1^1&x_2^1&...&x_D^1\\ x_1^2&x_2^2&...&x_D^2\\ ...&...&...&...&\\ x_1^{N_{pop}}&x_2^{N_{pop}}&...&x_D^{N_{pop}}\\ \end{matrix}\right] \tag{1} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡SeaRiver1River2....StreamNsr+1StreamNsr+2...StreamNpop⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡x11x12...x1Npopx21x22...x2Npop............xD1xD2...xDNpop⎦⎥⎥⎤(1)
其中， N s r N_{sr} Nsr 是海洋 S e a Sea Sea (数量为 1) 及河流 R i v e r River River 的数量之
和，这是在初始化的时候自行定义的，其余流入海洋和河流的溪流 S t r e a m Stream Stream 的数量为 N s t r e a m N_{stream} Nstream，其表达式为:
N s t r e a m = N p o p − N s r (2) N_{stream}=N_{pop}-N_{sr}\tag{2} Nstream=Npop−Nsr(2)
紧接着，根据式(3)计算当前种群中流向海洋的溪流数量及流向对应河流的溪流数量：
N s r n = r o u n d ( ∣ C t n ∑ s = 1 N C t s ∣ N s t r e a m s ) , n = 1 , 2 , . . . , N s r (3) N_{sr_n}=round(|\frac{Ct_n}{\sum_{s=1}^NCt_s}|N_{streams}),n=1,2,...,N_{sr}\tag{3} Nsrn=round(∣∑s=1NCtsCtn∣Nstreams),n=1,2,...,Nsr(3)
完成上述过程后，即可进行汇流过程，汇流过程如图 1所示. 汇流过程中，溪流、河流和海洋的位置根据式(4)随机更新：
N s t r e a m t + 1 = X s t r e a m t + r a n d ∗ C ∗ （ X r i v e r t − X s t r e a m t ) N s t r e a m t + 1 = X s t r e a m t + r a n d ∗ C ∗ （ X s e a t − X s t r e a m t ) N r i v e r t + 1 = X r i v e r t + r a n d ∗ C ∗ （ X s e a t − X r i v e r t ) (4) N_{stream}^{t+1}=X_{stream}^t + rand*C*（X_{river}^t - X_{stream}^t)\\ N_{stream}^{t+1}=X_{stream}^t + rand*C*（X_{sea}^t - X_{stream}^t)\\ N_{river}^{t+1}=X_{river}^t + rand*C*（X_{sea}^t - X_{river}^t) \tag{4} Nstreamt+1=Xstreamt+rand∗C∗（Xrivert−Xstreamt)Nstreamt+1=Xstreamt+rand∗C∗（Xseat−Xstreamt)Nrivert+1=Xrivert+rand∗C∗（Xseat−Xrivert)(4)
其中， t t t 是迭代数； 1 ≤ C ≤ 2 1\leq C\leq2 1≤C≤2 ， C C C 的最优值可以选为 2； r a n d rand rand是 0 和 1 之间均匀分布的随机数； X s t r e a m t X_{stream}^t Xstreamt及 X s t r e a m t + 1 X_{stream}^{t+1} Xstreamt+1分别表示第 t t t 次及第 t + 1 t+1 t+1 次迭代时溪流的位置； X r i v e r t X_{river}^t Xrivert及 X r i v e r t + 1 X_{river}^{t+1} Xrivert+1 分别表示第 t t t 次及第 t + 1 t+1 t+1 次迭代时河流的位置； X s e a t X_{sea}^t Xseat及 X s e a t + 1 X_{sea}^{t+1} Xseat+1 分别表示第 t t t 次及第 t + 1 t+1 t+1 次迭代时海洋的位置. 式(4)中分别为流向河流的溪流、流向海洋的溪流及流向海洋的河流的位置更新公式. 溪流在每次更新过后，计算出相应的适应度值，若该值优于与其相连的河流的适应度值，则将该溪流的位置与该河流的位置进行交换. 河流与海洋、溪流与海洋之间也有类似的交换. 在没有满足设定要求之前，海洋、河流和溪流的位置将根据相应的公式不断地更新.
所有的寻优算法都要考虑收敛过快而陷入局部最优的问题，水循环算法引入蒸发过程来避免该问题的发生. 在水循环过程中，那些流速过慢还有无法达到大海的溪流和河流最终都会蒸发，蒸发过程的出现会引来新的降水. 因此，必须检查河流及溪流是否足够靠近海洋，若距离较远则进行蒸发过程，蒸发过程的判断条件为
∣ X s e a t − X r i v e r t ∣ < d m a x , t = 1 , 2 , . . . , N s r − 1 (5) |X_{sea}^t - X_{river}^t|<d_{max},t=1,2,...,N_{sr}-1 \tag{5} ∣Xseat−Xrivert∣<dmax,t=1,2,...,Nsr−1(5)
其中， d m a x d_{max} dmax是接近零的小数. 蒸发过程结束后，应用降雨过程并在不同的位置形成新的溪流或河流（类似遗传算法的突变过程）. 较大的可 d m a x d_{max} dmax以防止额外搜索，但是会降低在海洋附近区域的搜索强度. 因此， d m a x d_{max} dmax的值应该自适应地降低：
d m a x t + 1 = d m a x t − d m a x t t m a x (6) d_{max}^{t+1}=d_{max}^t - \frac{d_{max}^t}{t_{max}}\tag{6} dmaxt+1=dmaxt−tmaxdmaxt(6)
其中， t m a x t_{max} tmax 为最大迭代数.
循环过程中的蒸发作用对河流和海洋的影响很小，所以在进行降雨过程之后影响的是溪流的位置. 降雨过程后溪流的新位置为 :
X s t r e a m n e w = L B + r a n d ∗ ( U B − L B ) (7) X_{stream}^{new}=LB+rand*(UB-LB)\tag{7} Xstreamnew=LB+rand∗(UB−LB)(7)
其中，L B (lower bound)和 U B (upper bound)分别表示设计变量的下界和上界.
算法步骤：
(1) 初始化算法参数．
(2) 随机生成初始种群，形成初始溪流（雨滴）、河流和海洋．
(3)计算每个雨滴的适应度函数值.
(4) 利用式（3）确定雨滴流向河流和海洋的强度；利用式（4）更新溪流位置；更新河流位置.
(5) 若溪流给出的适应度值比其相连的河流好，则河流和溪流的位置对换；若河流给出的适应度值比其相连的海洋好，则海洋和河流的位置对换。
(6) 判断 是 否满 足 蒸 发 条件．若 满 足 蒸 发 条件，利用式(7)进入降水过程，形成新的降水。
(7) 利用式（6）减小 d m a x d_{max} dmax值；判断算法是否满足终止条件，若满足，则转到 (8)；否则，重复执行(3) - (6)
(8) 输出最优解。
2.算法结果
3.参考文献
[1] Eskandar H, Sadollah A, Bahreininejad A, et al. Water cycle algorithm － A novel metaheuristic optimization method for solving constrained engineering optimization problems[J]. Computers & Structures, 2012, 110: 151-166.
[2] 金爱娟,苏俊豪,李少龙.基于水循环算法的开关磁阻电机性能优化[J/OL].信息与控制:1-12[2020-09-12].https://doi.org/10.13976/j.cnki.xk.2020.2048.