智能优化算法：天鹰优化算法

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智能优化算法：天鹰优化算法

摘要：天鹰优化算法（Aquila Optimizer，AO）是于2021年提出的一种新型智能优化算法，该算法主要模拟天鹰在捕捉猎物过程中的自然行为，来达到寻优的目的，具有寻优能力强，收敛速度快等特点。

1.算法原理

1.1 初始化

与其他优化算法一样，种群在搜索范围内随机初始化位置。
$X_{i j}=\operatorname{rand} \times\left(U B_{j}-L B_{j}\right)+L B_{j}, i=1,2, \cdots, N j=1,2, \cdots, \text { Dim } \tag{1}$
其中， $r a n d$ 是一个随机向量， $LB_j$ 表示给定问题的第 $j$ 个下界， $UB_j$ 表示给定问题的第 $j$ 个上界。

AO算法的优化过程用四种方法表示：通过垂直俯冲的高空飞行选择搜索空间、通过短滑翔攻击的等高线飞行在发散搜索空间内探索、通过慢速下降攻击的低空飞行在收敛搜索空间内开发、通过徒步猛扑并抓住猎物。如果 $t\leq\frac{2}{3}T$ ，则AO算法可使用不同的行为从探索步骤转移到开发步骤；否则，将很好地执行开发步骤。

1.2 扩大搜索（ $X_1$ ）

在第一种方法 $X_1)$ 中，天鹰识别猎物区域，并通过垂直弯腰的高飞选择最佳狩猎区域。此时，AO让来自高空的探险者四处飞翔，以确定猎物所在的搜索空间区域。该行为的数学模型如式(2)所示：
$X_{1}(t+1)=X_{b e s t}(t) \times\left(1-\frac{t}{T}\right)+\left(X_{M}(t)-X_{b e s t}(t) * r a n d\right)\tag{2}$

$X_{M}(t)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_{i}(t), \forall j=1,2, \cdots, \text { Dim } \tag{3}$

其中， $X_1(t+1)$ 是由第一种搜索方法 $X_1)$ 生成的第 $t + 1$ 次迭代的解； $X_{best}(t)$ 是在第 $t$ 次迭代之前获得的最佳解，这反映了猎物的近似位置； $(1-\frac{t}{T})$ 用于通过迭代次数控制扩展搜索(探索)； $X_M(t)$ 表示在第 $t$ 次迭代时当前解的平均值，该平均值使用式(3)计算； $r a n d$ 是介于0和1之间的随机值； $r$ 和 $T$ 分别表示当前迭代和最大迭代次数。 $D i m$ 是问题的维度大小， $N$ 是候选解的数量(种群规模)。

1.3 缩小搜索（ $X_2$ ）

在第二种方法（ $X_2$ ）中，当从高空发现猎物区域时，天鹰在目标猎物上方盘旋，准备着陆陆地，然后攻击，这种方法称为短滑翔攻击的等高线飞行。在这里，AO狭窄地探索目标猎物的选定区域，为攻击做准备。该行为的数学模式如式(4)所示：
$X_{2}(t+1)=X_{\text {best }}(t) \times \operatorname{Levy}(D)+X_{R}(t)+(y-x) * \text { rand } \tag{4}$
其中， $X_{2}(t+1)$ 是由第二个搜索方法（ $X_2$ ）生成的第 $t + 1$ 次迭代的解； $D$ 是维度空间大小； $L e v y (D)$ 是Levy飞行分布函数，使用式(5)计算； $X_R(t)$ 是在第 $t$ 次迭代时在 $[1, N]$ 范围内获得的随机解。
$\operatorname{Levy}(D)=s \times \frac{u \times \sigma}{|v|^{\frac{1}{\beta}}} \tag{5}$
其中， $s = 0.01$ ， $u$ 和 $v$ 分别为服从 $N ( 0 , σ^2 )$ 和 $N (0, 1)$ 的高斯分布随机数， $\sigma$ 计算如式(6)所示。
$\sigma=\left(\frac{\Gamma(1+\beta) \times \sin \left(\frac{\pi \beta}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1+\beta}{2}\right) \times \beta \times 2\left(\frac{\beta-1}{2}\right)}\right)^{\frac{1}{\beta}} \tag{6}$
其中 $\beta=1.5$ 。在式(4)中， $y$ 和 $x$ 用于表示搜索中的螺旋形状，计算如下：
$\times \cos (\theta) \tag{7}$

$\times \sin (\theta) \tag{8}$

其中：
$r=r_{1}+U \times D_{1} \tag{9}$

$\theta=-\omega \times D_{1}+\theta_{1} \tag{10}$

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$\theta_{1}=\frac{3 \times \pi}{2} \tag{11}$

$r_1$ 取1到20之间的值，用于固定搜索周期数； $U$ 是固定为0.00565的值； $D_1$ 是从1到搜索空间维数( $D i m$ )的整数； $\omega$ 是固定为0.005的值。

1.4 扩大开发（ $X_3$ ）

在第三种方法( $X_3$ )中，当天鹰准确地指定了猎物区域，并且准备好着陆和攻击时，天鹰垂直下降并进行初步攻击，以发现猎物反应。这种方法称为低空慢降攻击。在这里，AO利用目标的选定区域接近猎物并进行攻击。这种行为在数学上如式(12)所示：
$X_{3}(t+1)=\left(X_{\text {best }}(t)-X_{M}(t)\right) \times \alpha-\text { rand }+((U B-L B) \times \text { rand }+L B) \times \delta \tag{12}$
其中， $X_3(t+1)$ 是由第三种搜索方法( $X_3$ )生成的第 $t + 1$ 次迭代的解； $X_{best}(t)$ 表示第 $t$ 次迭代前猎物的近似位置(获得的最佳解)； $X_M(t)$ 表示第 $t$ 次迭代时当前解的平均值，该平均值使用式(3)计算； $r a n d$ 是一个介于0和1之间的随机值； $\alpha$ 和 $\delta$ 是本文中固定为较小值(0.1)的开发调整参数； $L B$ 表示给定问题的下界， $U B$ 表示给定问题的上界。

1.5扩大开发（ $X_4$ ）

在第三种方法( $X_4$ )中，当天鹰接近猎物时，它根据其随机运动在陆地上攻击猎物。这种方法称为“行走并抓住猎物”，AO在最后一个位置攻击猎物。该行为的数学模型如式(13)所示：
$X_{4}(t+1)=Q F(t) \times X_{b e s t}(t)-\left(G_{1} \times X(t) \times \operatorname{rand}\right)-G_{2} \times \operatorname{Levy}(D)+\operatorname{rand} \times G_{1} \tag{13}$
其中， $X_4(t+1)$ 是由第四种搜索方法( $X_4$ )生成的第 $t + 1$ 次迭代的解； $Q F (t)$ 表示在第 $t$ 次迭代时用于平衡搜索策略的质量函数，其使用式(14)计算； $G_1$ 表示在搜索猎物期间用于跟踪猎物的AO的各种运动，其使用式(15)计算； $G_2$ 呈现从2到0的递减值，表示AO的飞行速率，AO用于在从第一个位置到最后一个位置的过程中跟踪猎物，使用式(16)产生； $X (t)$ 是第 $t$ 次迭代的当前解。
$F(t)=t^{\frac{2 \times \text { rand }-1}{(1-T)^{2}}} \tag{14}$

$G_{1}=2 \times \text { rand }-1 \tag{15}$

$G_{2}=2 \times\left(1-\frac{t}{T}\right) \tag{16}$

其中， $r a n d$ 是介于0和1之间的随机值； $t$ 和 $T$ 分别表示当前迭代和最大迭代次数。

算法伪代码如下：

1: Initialization phase:
2: Initialize the population X of the AO.
3: Initialize the parameters of the AO (i.e.,  α ,δ, etc).
4: WHILE (The end condition is not met) do
5: Calculate the fitness function values.
6: X best (t)= Determine the best obtained solution according to the fitness values.
7: for (i = 1,2…,N) do
8: Update the mean value of the current solution X M (t).
9: Update the x,y,G 1 ,G 2 , Levy(D), etc.
10: if t⩽( 2
3 )∗T then
11:  if rand⩽0.5 then
12:  ▹ Step 1: Expanded exploration (X 1 )
13:  Update the current solution using Eq. (2).
14:  if Fitness(X 1 (t + 1)) < Fitness(X(t)) then
15:  X(t) =(X 1 (t + 1))
16:  if Fitness(X 1 (t + 1)) < Fitness(X best (t)) then
17:  X best (t) =X 1 (t + 1)
18:  end if
19:  end if
20:  else
21:  {▹ Step 2: Narrowed exploration (X 2 )}
22:  Update the current solution using Eq. (4).
23:  if Fitness(X 2 (t + 1)) < Fitness(X(t)) then
24:  X(t) =(X 2 (t + 1))
25:  if Fitness(X 2 (t + 1)) < Fitness(X best (t)) then
26:  X best (t) =X 2 (t + 1)
27:  end if
28:  end if
29:  end if
30:  else
31:  if rand⩽0.5 then
32:  {▹ Step 3: Expanded exploitation (X 3 )}
33:  Update the current solution using Eq. (12).
34:  if Fitness(X 3 (t + 1)) < Fitness(X(t)) then
35:  X(t) =(X 3 (t + 1))
36:  if Fitness(X 3 (t + 1)) < Fitness(X best (t)) then
37:  X best (t) =X 3 (t + 1)
38:  end if
39:  end if
40:  else
41:  ▹ Step 4: Narrowed exploitation (X 4 )
42:  Update the current solution using Eq. (13).
43:  if Fitness(X 4 (t + 1)) < Fitness(X(t)) then
44:  X(t) =(X 4 (t + 1))
45:  ifFitness(X 4 (t + 1)) < Fitness(X best (t)) then
46:  X best (t) =X 4 (t + 1)
47:  end if
48:  end if
49:  end if
50:  end if
51:  end for
52: end while
53: return The best solution (X best ).

2.实验结果

请添加图片描述

3.参考文献

[1] Abualigah L , Yousri D , Elaziz M A , et al. Matlab Code of Aquila Optimizer: A novel meta-heuristic optimization algorithm[J]. Computers & Industrial Engineering, 2021.