JZOJ6757.【NOI2020模拟07.22】T3(singer)

Description

• $n<2^{19},m(n-k+1)<2^{20}$，模$998244353$

Solution

• 首先容斥，恰好$k$个容斥成至少$k$个升调，那么对于长度$n$来说至多有$n-k$段。
• $f(n)={\sum }_{i>=n}{C}_i^n(-1{)}^{n-i}g(i)$
• 设$f(x)=(x+1{)}^m-1$
• 枚举$i$段组合在了一起，长度为$n$，枚举有$i>=k$个升调。
• $Ans={\sum }_{n=k}^N{\sum }_{i=k}^n{C}_i^k(-1{)}^{i-k}{f}^{n-i}(x)[x^n]$
• $Ans={\sum }_{i=k}^N{C}_i^k(-1{)}^{i-k}{\sum }_{n=i}^N{f}^{n-i}(x)[x^n]$
• $Ans=[x^N]{\sum }_{i=k}^N{C}_i^k(-1{)}^{i-k}{\sum }_{n=i}^N{f}^{n-i}(x)x^{N-n}$
• $Ans=[x^N]{\sum }_{i=k}^N{C}_i^k(-1{)}^{i-k}\frac{f^{N-i+1}-x^{N-i+1}}{f-x}$
• $Ans=[x^{N+1}]{\sum }_{i=k}^N{C}_i^k(-1{)}^{i-k}\frac{f^{N-i+1}-x^{N-i+1}}{\frac{f-x}{x}}$
• 相当于求：
• $F(x)={\sum }_{i=k}^N{C}_i^k(-1{)}^{i-k}{f}^{N-i+1}$
• $F(x)={\sum }_{i=k}^N{C}_i^k(-1{)}^{i-k}{\sum }_{j=0}^{N-i+1}(x+1{)}^{mj}(-1{)}^{N-i+1-j}{C}_{N-i+1}^j$
• $F(x)={\sum }_{i=k}^N{\sum }_{j=0}^{N-i+1}(x+1{)}^{mj}(-1{)}^{N-i+1-j+i-k}{C}_{N-i+1}^j{C}_i^k$
• $F(x)={\sum }_{j=0}^{N-k+1}(x+1{)}^{mj}(-1{)}^{N+1+j+k}{\sum }_{i=k}^{N-j+1}{C}_{N-i+1}^j{C}_i^k$
• $F(x)={\sum }_{j=0}^{N-k+1}(x+1{)}^{mj}(-1{)}^{N+1+j+k}{C}_{N+2}^{j+k+1}$
• $F(x)={\sum }_{j=0}^{N-k+1}{\sum }_{i=0}^{mj}{C}_{mj}^i(-1{)}^{N+1+j+k}{C}_{N+2}^{j+k+1}{x}^i$
• $F(x)={\sum }_{i=0}^{m(N-k+1)}{\sum }_{j=i/m}^{N-k+1}\frac{(mj)!}{i!(mj-i)!}(-1{)}^{N+1+j+k}{C}_{N+2}^{j+k+1}{x}^i$
• 由于题目保证$m>=2$，再特判一下$k=0$即可。

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注意事项

• $F(x)$没有常数项！我也不知道为什么卷积之后突然出现了常数项，可能是我没有判掉吧。

• 多项式求逆的时候如果分母常数项为0，就上下同时除以一个$x$

• 由于只需要求$x^N$的值，所以只需要求出$mod{x}^{N+1}$后的$F(x)$和$\frac{1}{f-x}$。

• 注意乘法的时候要开两倍。

• 多项式求逆的时候有值得下标不能超过$lim/2$。

姿势

• 可以通过次数的移动使得求得东西变得简单，再用等比数列求解
• $Ans={\sum }_{i=k}^N{C}_i^k(-1{)}^{i-k}{\sum }_{n=i}^N{f}^{n-i}(x)[x^n]$
• $Ans=[x^N]{\sum }_{i=k}^N{C}_i^k(-1{)}^{i-k}{\sum }_{n=i}^N{f}^{n-i}(x)x^{N-n}$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long 
#define mo 998244353
#define maxn 2097152
#define I(x) (((x)&1)?-1:1)
using namespace std;

int N,m,K,i,j,k;
int lim,bt[maxn];
ll fct[maxn],invf[maxn],w[maxn+1];

ll ksm(ll x,ll y){
    
    
	ll s=1;
	for(;y;y/=2,x=x*x%mo) if (y&1)
		s=s*x%mo;
	return s;
}

ll C(int n,int m){
    
    return fct[n]*invf[m]%mo*invf[n-m]%mo;}

void prepare(){
    
    
	fct[0]=1;for(i=1;i<maxn;i++) fct[i]=fct[i-1]*i%mo;
	invf[maxn-1]=ksm(fct[maxn-1],mo-2);
	for(i=maxn-2;i>=0;i--) invf[i]=invf[i+1]*(i+1)%mo;
	w[0]=1,w[1]=ksm(3,(mo-1)/maxn);
	for(int i=2;i<=maxn;i++) w[i]=w[i-1]*w[1]%mo;
}

void dft(ll *a,int sig){
    
    
	for(int i=1;i<lim;i++) if (i<bt[i]) swap(a[i],a[bt[i]]);
	for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
    
    
		int st=(sig>0)?0:maxn,d=sig*maxn/(mid*2);
		for(int j=0;j<lim;j+=mid<<1){
    
    
			for(int k=0,p=st;k<mid;k++,p+=d){
    
    
				ll x=a[j+k],y=a[j+k+mid]*w[p];
				a[j+k]=(x+y)%mo,a[j+k+mid]=(x-y)%mo;
			}
		}
	}
	if (sig<0){
    
    
		ll inv=ksm(lim,mo-2);
		for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=a[i]*inv%mo;
	}
}

ll A[maxn],B[maxn],F[maxn],G[maxn];
void getlim(int n){
    
    
	for(lim=1;lim<=n;lim<<=1);
	for(int i=1;i<lim;i++) bt[i]=(bt[i>>1]>>1)|((i&1)*(lim>>1));
}

ll f[maxn];
void getfn(){
    
    
	int M=m*(N-K+1);
	getlim(M*2);
	for(i=0;i<=N-K+1;i++) 
		A[m*i]=fct[m*i]*I(N+1+i+K)*C(N+2,i+K+1)%mo;
	for(i=0;i<=M;i++) B[M-i]=invf[i];
	dft(A,1),dft(B,1);
	for(i=0;i<lim;i++) A[i]=A[i]*B[i]%mo;
	dft(A,-1);
	for(i=0;i<=M;i++) F[i]=(A[M+i]*invf[i]%mo+mo)%mo;
	for(i=K;i<=N;i++) F[N-i+1]-=C(i,K)*I(i-K);
	for(i=0;i<=M;i++) f[i]=(F[i+1]+mo)%mo;
	memset(F,0,sizeof(F));
	for(i=0;i<=N;i++) F[i]=f[i];
}

ll H[maxn];
void getg(){
    
    
	for(i=0;i<m;i++) G[i]=C(m,i+1); G[0]--;
	for(i=N+1;i<m;i++) G[i]=0;
	int L=1; while (L<N+1) L<<=1;
	H[0]=ksm(G[0],mo-2);
	for(int k=2;k<=L;k<<=1){
    
    
		getlim(k<<1);
		for(i=0;i<k;i++) A[i]=G[i];
		for(i=0;i<k;i++) B[i]=H[i];
		for(i=k;i<lim;i++) B[i]=A[i]=0;
		dft(A,1),dft(B,1);
		for(i=0;i<lim;i++) A[i]=A[i]*B[i]%mo*B[i]%mo;
		dft(A,-1);
		for(i=0;i<k;i++) H[i]=(2*H[i]-A[i])%mo;
	}
	memset(G,0,sizeof(G));
	for(i=0;i<=N;i++) G[i]=H[i];
}

int main(){
    
    
//	freopen("singer.in","r",stdin);
//	freopen("singer.out","w",stdout);
	prepare();
	scanf("%d%d%d",&N,&m,&K);
	getfn();
	getg();
	getlim(2*N);
	dft(F,1),dft(G,1);
	for(i=0;i<lim;i++) F[i]=F[i]*G[i]%mo;
	dft(F,-1);
	printf("%lld\n",(F[N]+mo-(K==0))%mo);
}