AGC028D Chords

AGC028D

在一个有$2n$个点的圆上，有$k$对点被钦定右边，剩下$2(n-k)$个点任意配对。

问所有的方案中，所有的连通块的个数之和。

$n\le 300$

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思维僵化。。。

考虑分别对每个连通块计算它的贡献。每个连通块以它的左右端点来统计。

令$f_{l,r}$表示：$l$和$r$在一个连通块中，并且$[l,r]$内的点连向的点都在$[l,r]$内，这样的方案数。

记$g_i$表示$i$个点任意配对的方案数。

那么答案为${\sum }_{i,j}{f}_{i,j}{g}_{[i,j]外未固定的点}$

考虑$f_{i,j}$的转移，可以用任意配对的方案数，减去$i$和$j$不在同一个连通块内的方案数。具体来说枚举$k$，将区间分成$[i,k]$和$[k+1,j]$。

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using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 610
#define ll long long
#define mo 1000000007
int n,K;
int to[N],c[N];
bool bz[N][N];
int f[N][N],g[N];
int main(){
    
    
	scanf("%d%d",&n,&K);
	for (int i=1;i<=K;++i){
    
    
		int a,b;
		scanf("%d%d",&a,&b);
		if (a>b) swap(a,b);
		to[a]=b,to[b]=a;
		for (int i=a+1;i<=b;++i)
			for (int j=b;j<=2*n;++j)
				bz[i][j]=1;
		for (int j=a;j<=b-1;++j)
			for (int i=1;i<=a;++i)
				bz[i][j]=1;
	}
	for (int i=1;i<=2*n;++i)
		c[i]=c[i-1]+(to[i]==0);
	g[0]=1;
	for (int i=2;i<=2*n;i+=2)
		g[i]=(ll)g[i-2]*(i-1)%mo;
	for (int l=2*n;l>=1;--l){
    
    
		for (int r=l+1;r<=2*n;r+=2){
    
    
			if (bz[l][r]) continue;
			ll s=0;
			for (int i=l+1;i<r;i+=2)
				(s+=(ll)f[l][i]*g[c[r]-c[i]])%=mo;
			f[l][r]=(g[c[r]-c[l-1]]-s+mo)%mo;
		}
	}
	ll ans=0;
	for (int i=1;i<=2*n;++i)
		for (int j=i+1;j<=2*n;j+=2)
			if (f[i][j])
			(ans+=(ll)f[i][j]*g[c[2*n]-(c[j]-c[i-1])])%=mo;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}