AGC032D Rotation Sort

AGC032D

有个排列$p_i$，每次可以以$A$的代价将某个数移到右边的一个位置，或者可以以$B$的代价移到左边的一个位置。

问将其变成升序排列花的最小代价。

$n\le 5\ast 10^3$

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考虑$p_x=1$的位置：最终它一定要移到最左边。移到最左边有两种方法：花$B$的代价将$p_x$移到最左边；花$A\ast 左边的数的个数$的代价将左边的数移到$p_x$的右边。注意到如果我们用了后面的这个操作，我们完全可以让$p_x$左边的数任意插入到$x$右边的任意位置，于是可以先将$x$右边的数排列好，直接按照顺序插进去一定是最优的。

第一种操作相当于把序列中的$1$剔除掉，接着做剩下的子问题；第二种操作形成的子问题为原来的一段后缀。

于是可以DP：$f_{i,j}$表示考虑区间$[i,n]$，剔除掉了小于等于$j$的数，这个问题的最小代价。

转移的时候需要一个辅助数组$c_{i,j}$表示$[j,i]$中大于$p_j$的数的个数。

总时间复杂度$O(n^2)$。

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using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#define N 5010
#define ll long long
int n;
ll A,B;
int p[N],re[N];
ll f[N][N];
int c[N][N];
void upd(ll &a,ll b){
    
    a=min(a,b);}
int main(){
    
    
//	freopen("in.txt","r",stdin);
	scanf("%d%lld%lld",&n,&A,&B);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&p[i]),re[p[i]]=i;
	for (int j=1;j<=n;++j)
		for (int i=re[j]-1;i>=1;--i)
			c[j][i]=c[j][i+1]+(p[i]>j);
	memset(f,127,sizeof f);
	for (int j=0;j<=n;++j)
		f[n+1][j]=0;
	for (int i=n;i>=1;--i){
    
    
		f[i][n]=0;
		for (int j=n-1;j>=0;--j){
    
    
			if (c[j+1][i]==0)
				f[i][j]=f[i][j+1];
			else
				f[i][j]=min(f[i][j+1]+B,f[re[j+1]+1][j+1]+A*c[j+1][i]);
		}
	}
	printf("%lld\n",f[1][0]);
	return 0;
}