CSP-S2019提高组复赛——T1格雷码

格雷码

通常，人们习惯将所有 n 位二进制串按照字典序排列，例如所有 2 位二进制串按字典序从小到大排列为：00，01，10，11。

格雷码（Gray Code）是一种特殊的 n 位二进制串排列法，它要求相邻的两个二进制串间恰好有一位不同，特别地，第一个串与最后一个串也算作相邻。

所有 2 位二进制串按格雷码排列的一个例子为：00，01，11，10。

n 位格雷码不止一种，下面给出其中一种格雷码的生成算法：

• 1 位格雷码由两个 1 位二进制串组成，顺序为：0，1。
• n+1 位格雷码的前 $2^n$ 个二进制串，可以由依此算法生成的 n 位格雷码（总共 $2^n$ 个 n 位二进制串）按顺序排列，再在每个串前加一个前缀 0 构成。
• n+1 位格雷码的后 $2^n$ 个二进制串，可以由依此算法生成的 n 位格雷码（总共 $2^n$ 个 n 位二进制串）按$2^n$排列，再在每个串前加一个前缀 1 构成。

综上，n+1 位格雷码，由 n 位格雷码的 $2^n$ 个二进制串按顺序排列再加前缀 0，和按逆序排列再加前缀 1 构成，共 $2^{n+1}$ 个二进制串。

另外，对于 n 位格雷码中的 $2^n$ 个二进制串，我们按上述算法得到的排列顺序将它们从 $0$ ∼ $2^n-1$ 编号。

按该算法，2 位格雷码可以这样推出：

已知 1 位格雷码为 0，1。
前两个格雷码为 00，01。后两个格雷码为 11，10。合并得到 00，01，11，10，编号依次为 0 ∼ 3。
同理，3 位格雷码可以这样推出：

已知 2 位格雷码为：00，01，11，10。
前四个格雷码为：000，001，011，010。后四个格雷码为：110，111，101，100。合并得到：000，001，011，010，110，111，101，100，编号依次为 0 ∼ 7。
现在给出 n,k，请你求出按上述算法生成的 n 位格雷码中的 k 号二进制串。

输入格式
仅一行，包含两个整数 n 和 k。

输出格式
仅一行，一个 n 位二进制串表示答案。

输入样例

3 5

输出样例

111

算法思想

从题目描述可知，$n$位格雷码可以由$n-1$位格雷码生成：

1. $n-1$ 位格雷码（总共 $2^{n-1}$ 个 $n-1$ 位二进制串）按顺序排列，再在每个串前加一个前缀 0 构成。
2. $n-1$ 位格雷码（总共 $2^{n-1}$ 个 $n-1$ 位二进制串）按逆序排列，再在每个串前加一个前缀 1 构成。

那么，n位的格雷码可以分为两部分，如下图所示：

要求n位的格雷码中k（k从0开始）号二进制串，可以使用分治思想递归求解：

• 如果$k<2^{n-1}$，可以添加前缀0，并到顺序排列的 $2^{n-1}$ 个二进制串中递归查找第$k$号二进制串。
• 如果$k>=2^{n-1}$，可以添加前缀1，并到逆序排列的 $2^{n-1}$ 个二进制串中递归查找第$2^n-1-k$号二进制串。注意，前面已有$2^{n-1}$ 个二进制串，所以要求的序号变为$k-2^{n-1}+1$，又因为是逆序排列，所以变换成顺序排列的序号为$2^{n-1}-(k-2^{n-1}+1)=2^n-1-k$。
• 特殊地，当n==0时，所得二进制串为∅。

时间复杂度

$O(n)$

代码实现

#include <iostream>

using namespace std;

typedef unsigned long long ULL;

string dfs(int n, ULL k)
{
    
    
    if(n == 0) return "";
    //1ull表示无符号长整型1
    if(k < (1ull << n - 1)) return "0" + dfs(n - 1, k);
    
    ULL t = (1ull << n) - 1;
    //当n=64时，2的64次幂ULL也会溢出
    //单独判断处理即可
    if(n == 64) t = -1;
    return "1" + dfs(n - 1, t - k);
}

int main()
{
    
    
    int n;
    ULL k;
    cin >> n >> k;
    
    cout << dfs(n, k) << endl;
    return 0;
}