P2900 [USACO08MAR]Land Acquisition G（斜率优化 dp）

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先将土地按 长度 l 排序，相同长度的土地按 宽度 h 排序，若 $h_i\le h_j，l_i\le l_j$，可以直接将第 i 块土地和第 j 块土地绑在一起，决策时只需要考虑第 j 块土地。

对排好序的土地维护一个单调栈，栈内土地的 宽度h 单调递减，对最后栈内保留的土地进行 dp

$O(n^2)$ 的做法：dp[i] = min(dp[j] + l[i] * h[j + 1])

设 j > k，在 j 转移比在 k 转移更优，满足 dp[j] + l[i] * h[j + 1] < dp[k] + l[i] * h[k + 1]

移项得到：$\frac{dp[j]-dp[k]}{h[j+1]-h[k+1]}>-l[i]$

由于 l[i + 1] >= l[i]，对于 dp[i] 在 j点转移 同样比在 k点转移更优，决策具有单调性。

设 $k<j,g(j,k)=\frac{dp[j]-dp[k]}{h[j+1]-h[k+1]}$

设 $k<j<i$，若 $g(i,j)\ge g(j,k)$，j 点不可能最优决策点，证明：若 $g(j,k)>-l[i]$，则 $g(i,j)>-l[i]$ 一定同时成立，$i$ 点比 $j$ 点更优；否则 $k$ 点比 $j$ 点更优

由于这题横坐标单调递减，实际上维护的还是下凸包，$i>j$，但 $x(i)<x(j)$，斜率又要单调递增，就是下凸包。

由于决策有单调性（也就是斜率 -l[i] 单调），可以用单调队列维护，在单调队列队头，将$g(q[front],q[front+1])>-l[i]$ 的点全部 pop，-l[i]越来越小，后面的转移不可能再用到这些点。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e4;
typedef long long ll;
int n;
struct node {
    
    
	int x,y;
	bool operator < (const node &rhs) const {
    
    
		if (x != rhs.x) return x < rhs.x;
		return y < rhs.y;
	}
}a[maxn];
ll h[maxn],l[maxn],top;
ll dp[maxn];
int q[maxn],rear,front;
ll getup(int x,int y) {
    
    
	return dp[x] - dp[y];
}
ll getdown(int x,int y) {
    
    
	return h[x + 1] - h[y + 1];
}
ll calc(int x,int y) {
    
    
	return dp[y] + 1ll * l[x] * h[y + 1];
}
int main() {
    
    
	scanf("%d",&n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
		scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
	}
	sort(a + 1,a + n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
		while (top > 0 && h[top] <= a[i].y) top--;
		h[++top] = a[i].y, l[top] = a[i].x;
	}
	q[++rear] = 0;
	for (int i = 1; i <= top; i++) {
    
    
		while (front + 1 < rear && getup(q[front + 1],q[front + 2]) >= -l[i] * getdown(q[front + 1],q[front + 2])) front++;
		dp[i] = calc(i,q[front + 1]);
		while (front + 1 < rear && getup(i,q[rear]) * getdown(q[rear],q[rear - 1]) >= getup(q[rear],q[rear - 1]) * getdown(i,q[rear]))
			rear--;
		q[++rear] = i;
	}
	printf("%lld\n",dp[top]);
	return 0;
}