PEST++系列文章
【PEST++】01 参数优化与灵敏度分析
【PEST++】02 新安江模型参数自动率定
【PEST++】03 水文模型不确定性和灵敏度分析
【PEST++】04 用户手册笔记
一、绪论
1.1 水文预报不确定性的分类
1.1.1 水文现象不确定性
水文过程在其发生、发展和演变过程中受到诸多因素的共同影响，其状态始终体现为一种不稳定、模糊现象，称为水文现象不确定性，按形态可分为随机不确定性和模糊不确定性。
1.1.2 水文模型不确定性
水文模型的结构和参数相互依赖，不可分割，对二者的误差分别量化既不现实也没有必要，因此将水文模型结构误差和模型参数优选误差统称为水文模型不确定性。
1.1.3 输入不确定性
水文模型的输入分为确定性输入和不确定性输入。确定性输入在预报时刻为已知，其不确定性体现于水文模型的输出，由此产生的不确定性可作为水文模型不确定性的先验分布加以考虑。不确定性输入主要是指进行定量降水预报，由此导致的水文预报不确定性称之为定量降水预报的不确定性。
1.2 水文模型不确定性
1.2.1 水文模型的结构误差
水文模型是研究水文自然规律和解决水文实践问题的主要工具，通常分为系统模型、概念模型和物理模型。每种模型都试图通过对复杂的水文物理现象进行不同层次的描述，对新理论、新方法的引入等途径，以期消除水文预报误差。由于对水文现象或水文过程认识的不够深刻，使现实采用的模型结构不尽合理而无法真实的反映实际水文过程。模型的参数主要依据降雨和径流资料来率定，而这样求得的模型参数必然带有检验统计性，只能反映有关影响因素(气象因素、下垫面因素等)对流域径流形成过程的平均作用。水文模型之间的确定性联系很复杂，而模型往往用大量简化的数学物理方程进行近似模拟，大多数集总式模型忽略了流域空间分布面上产汇流的随机性。许多模型没有考虑环境的变化(如全球变化、人类活动的影响、水库、引水等)对流域产汇流机制的影响。实际上，无论模型的结构怎样合理，水文模型的预报精度与实际防洪要求的差距无法消除1。
1.2.2 模型参数的优选误差
水文学者都希望用较少参数的水文模型来对流域径流进行水文模拟，这样可以在模型参数率定时，降低模型的不确定性。理论上讲，模型参数可以从流域直接或者间接获得，但由于水文模型参数既有其物理意义，又有其推理概化的成分，故多数模型参数只能由实测资料(降雨、蒸发等)通过参数率定得到，由此增加了率定资料的提取、优选方法的选取、目标函数的确定与组合等因素而产生的模型参数优选的不确定性。水文学者在水文模型参数优选技术上做了大量研究，将数学物理方法与水文学结合起来，分析模型结构和参数不确定性直接的关系。率定参数时所用水文资料的质量对模型参数率定的影响远大于所选取水文资料的数量对模型参数优选的影响。水文资料的质量依赖于数据中所含有关水文过程信息的多寡及数据本生存在的误差，数据所含信息取决于水文过程的变幅，即水利资料要具有可靠性、一致性、代表性，如包括丰水、中水、枯水年，则认为数据中包含了较多的水文信息，这样率定优选出的参数才具有代表性1。
1.3 异参同效
1.3.1 现象
现行流域水文模型，由于其对水文物理过程的描写与定量计算过于粗略和概化，实际上只具有“模拟"功能，属于“模拟模型”。这种模型容易做到模拟或复演过去已经发生的水文现象，利用计算机的优势，只要不断地调整模型参数的组合可能有多个最优参数组所获得的输出具有相同的拟合精度。而预报者在预报时往往只是从中选择一组认为最优的参数来进行预报。这就必然存在不确定性。
1.3.2 原因
- 目标函数是多极值的；
- 模型中包括的参数之间存在相互补偿作用；
- 模型参数具有随机性。
1.4 灵敏度分析
1.4.1 概念
在保证其他参数值不变的前提下，改变一个或几个参数值，通过目标函数值的变化，来分析参数对模拟结果的灵敏度2。
1.4.2 作用
作为参数率定的有效辅助工具，灵敏度分析通过研究模型输入变化引起的模型结果变化，定量识别影响某一状态变量模拟输出的重要参数，以便对相应的灵敏参数进行有效识别和不确定性分析。通过参数的灵敏度分析，确定出模型中对模拟结果影响较大的参数，重点对这些参数进行优化，可提高参数率定效率和模型预测的可靠性3。
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1.4.3 分类
- 局部灵敏度分析
只检验单个参数的变化对模型结果的影响程度，其他参数只取其平均值。 - 全局灵敏度分析
检验多个参数的变化对模型结果产生的总的影响，并分析每一个参数及参数之间的相互作用对模型结果的影响4。
二、不确定性分析方法
2.1 GLUE
2.1.1 概念
普适似然不确定性估计方法GLUE(Generalized Likelihood UnCertainty Estimation)就是一种集合预报的方法一一限制性最优的参数值组合概念，并用于分析水文数学模型的参数不确定性。导致模型模拟结果好坏的原因是所有模型参数的组合，而不是某一个模型参数所致。
2.1.2 基本思路
先根据已有的知识设定模型参数(起决定性作用的模型参数)的分布空间，即先验分布。按照先验分布抽取模型的各参数组合，以各参数组确定的模型模拟水文过程。选取适当的似然函数，计算模型输出与实测之间的似然函数值，再将函数值归一化后作为各参数组的似然值。设定一个似然函数的临界值，凡低于这个临界值的似然值均被赋为零，表示这些参数组无法表征模型的功能特征；凡高于这个临界值的似然函数值所对应的参数组则表示它们能够表征模型的功能特征。最后，按归一化权重对各组参数进行抽样，利用各抽得的参数组样本分别模拟某一水文过程，再由这些模拟结果求出该水文过程的在指定置信度下模型输出的不确定性范围56。
2.2 PEST++
2.2.1 概念
预测不确定性小于潜在预测误差，但预测误差方差更容易计算。
In the under-determined parameter estimation context (which is far more representative of the innate complexity of real-world systems), a variety of PEST-suite methodologies can be used for implementation of post-calibration uncertainty analysis. These include the unique and highly efficient null-space Monte Carlo method (see PNULPAR and related utility programs). Linear uncertainty and error analysis can be accomplished very easily through the GENLINPRED utility and/or through the PREDVAR and PREDUNC suite of utility programs7.
▲欠定问题会出现异参同效现象，不确定性分析方法有零空间蒙特卡洛法、线性分析法(FOSM一阶二次矩法)。
As is described by Doherty (2015), if properly undertaken, the calibration process yields a parameter field of minimized error variance. This is its “passport to uniqueness”. The parameter field is not correct; its potential for wrongness (which may be large) is merely minimized. Any prediction that the model makes inherits this status. That is, the prediction is not correct; however its potential for wrongness has been minimized. Hence a prediction made by a calibrated model lies somewhere near the centre of the posterior probability distribution of that prediction. The same concept can be extended to model outputs that describe environmental behaviour to which constraints must be applied8.
▲模型参数经过率定校准后，运行产生的输出结果并不是准确的，只是方差最小的结果。因此存在基于预测结果的概率分布。这就是模型参数的不确定性。
PESTPP-GLM-calculated prior and posterior parameter uncertainties are recorded at the end of its run record file. They are also recorded in a comma delimited file named case.par.usum.csv (“usum” stands for “uncertainty summary”). Prior and posterior means, standard deviations and bounds in the latter file pertain to the logs (to base 10) of parameters which are log-transformed in the PEST control file. These upper and lower posterior parameter bounds are calculated as the parameter’s estimated or initial value (depending on whether or not inversion has been carried out) plus and minus two standard deviations. Under the Gaussian assumption, bounds calculated in this way approximately span the parameter’s 95% posterior confidence interval8.
▲PEST++计算的参数不确定性存储在运行记录文件.rec末尾，也记录在逗号分隔符文件.par.usum.csv里。给出的参数上下边界具有95%的置信区间。pestpp4.2.1.pdf Pages 91.
As well as calculating parameter uncertainties, PESTPP-GLM can also be asked to calculate the prior and posterior uncertainties of some predictions. This functionality is activated through use of the forecasts() control variable. The values which must be supplied for this variable are the names of predictions whose uncertainties are sought. For example forecasts(ar10,ar11)requests that prior and predictive uncertainties be evaluated for model outputs named “ar10” and “ar11” in the PEST control file on which PESTPP-GLM’s operations are based. Despite the fact that these model outputs are predictions, they must be listed in the “observation data” section of the PEST control file; hence sensitivities of these model outputs to parameters are available as rows of the Jacobian matrix which is calculated by PESTPP-GLM. Model predictions should be endowed with weights of zero in a PEST control file; this is because predictions are not used to constrain parameters, and hence do not form part of a calibration dataset. (PESTPP-GLM issues a warning message if this is not the case.) The uncertainties and lower/upper bounds of predictions that are specified in this way are listed at the end of the PESTPP-GLM run record file, and in a comma-delimited file named case.pred.usum.csv. Posterior predictive lower and upper bounds are calculated by subtracting and adding two standard deviations from/to the value of the prediction as calculated by the model using initial or estimated parameter values8.
▲PEST++计算的预测结果不确定性存储在运行记录文件.rec末尾，也记录在逗号分隔符文件.pred.usum.csv里。给出的预测结果上下边界具有95%的置信区间。pestpp4.2.1.pdf Pages 91.
2.2.2 应用
以新安江模型为例，具体数据参见 新安江模型参数自动率定（PEST++）。
2.2.2.1 命令行
准备好相应文件后，在命令行中依次执行以下命令，以开始参数自动率定和参数以及预测结果不确定性分析。
xaj.exe
tsproc.exe tsproc.dat record.txt
echo ++ forecasts(i_mod_test_1,i_mod_test_2,i_mod_test_3,i_mod_test_4,i_mod_test_5,i_mod_test_6,i_mod_test_7,i_mod_test_8,i_mod_test_9,i_mod_test_10,i_mod_test_11,i_mod_test_12,i_mod_test_13,i_mod_test_14,i_mod_test_15,i_mod_test_16,i_mod_test_17,i_mod_test_18,i_mod_test_19,i_mod_test_20,i_mod_test_21,i_mod_test_22,i_mod_test_23,i_mod_test_24,i_mod_test_25,i_mod_test_26,i_mod_test_27,i_mod_test_28,i_mod_test_29,i_mod_test_30,i_mod_test_31,i_mod_test_32,i_mod_test_33,i_mod_test_34,i_mod_test_35,i_mod_test_36,i_mod_test_37,i_mod_test_38,i_mod_test_39,i_mod_test_40,i_mod_test_41,i_mod_test_42,i_mod_test_43,i_mod_test_44,i_mod_test_45,i_mod_test_46,i_mod_test_47,i_mod_test_48,i_mod_test_49,i_mod_test_50,i_mod_test_51,i_mod_test_52,i_mod_test_53,i_mod_test_54,i_mod_test_55,i_mod_test_56,i_mod_test_57,i_mod_test_58,i_mod_test_59,i_mod_test_60,i_mod_test_61,i_mod_test_62,i_mod_test_63,i_mod_test_64,i_mod_test_65,i_mod_test_66,i_mod_test_67,i_mod_test_68,i_mod_test_69,i_mod_test_70,i_mod_test_71,i_mod_test_72,i_mod_test_73,i_mod_test_74,i_mod_test_75,i_mod_test_76,i_mod_test_77,i_mod_test_78,i_mod_test_79,i_mod_test_80,i_mod_test_81,i_mod_test_82,i_mod_test_83,i_mod_test_84,i_mod_test_85,i_mod_test_86,i_mod_test_87,i_mod_test_88,i_mod_test_89,i_mod_test_90,i_mod_test_91,i_mod_test_92,i_mod_test_93,i_mod_test_94,i_mod_test_95,i_mod_test_96,i_mod_test_97,i_mod_test_98,i_mod_test_99,i_mod_test_100,i_mod_test_101,i_mod_test_102,i_mod_test_103,i_mod_test_104,i_mod_test_105,i_mod_test_106,i_mod_test_107,i_mod_test_108,i_mod_test_109,i_mod_test_110,i_mod_test_111,i_mod_test_112,i_mod_test_113,i_mod_test_114,i_mod_test_115,i_mod_test_116,i_mod_test_117,i_mod_test_118,i_mod_test_119,i_mod_test_120,i_mod_test_121,i_mod_test_122,i_mod_test_123,i_mod_test_124,i_mod_test_125,i_mod_test_126,i_mod_test_127,i_mod_test_128,i_mod_test_129,i_mod_test_130,i_mod_test_131,i_mod_test_132,i_mod_test_133,i_mod_test_134,i_mod_test_135,i_mod_test_136,i_mod_test_137,i_mod_test_138,i_mod_test_139,i_mod_test_140,i_mod_test_141,i_mod_test_142,i_mod_test_143,i_mod_test_144,i_mod_test_145,i_mod_test_146,i_mod_test_147,i_mod_test_148,i_mod_test_149,i_mod_test_150,i_mod_test_151,i_mod_test_152,i_mod_test_153,i_mod_test_154,i_mod_test_155,i_mod_test_156,i_mod_test_157,i_mod_test_158,i_mod_test_159,i_mod_test_160,i_mod_test_161,i_mod_test_162,i_mod_test_163,i_mod_test_164,i_mod_test_165,i_mod_test_166,i_mod_test_167,i_mod_test_168,i_mod_test_169,i_mod_test_170,i_mod_test_171,i_mod_test_172,i_mod_test_173,i_mod_test_174,i_mod_test_175,i_mod_test_176,i_mod_test_177,i_mod_test_178,i_mod_test_179,i_mod_test_180,i_mod_test_181,i_mod_test_182,i_mod_test_183,i_mod_test_184,i_mod_test_185,i_mod_test_186,i_mod_test_187,i_mod_test_188,i_mod_test_189,i_mod_test_190,i_mod_test_191,i_mod_test_192,i_mod_test_193,i_mod_test_194,i_mod_test_195,i_mod_test_196,i_mod_test_197,i_mod_test_198,i_mod_test_199,i_mod_test_200,i_mod_test_201,i_mod_test_202,i_mod_test_203,i_mod_test_204,i_mod_test_205,i_mod_test_206,i_mod_test_207,i_mod_test_208,i_mod_test_209,i_mod_test_210,i_mod_test_211,i_mod_test_212,i_mod_test_213,i_mod_test_214,i_mod_test_215,i_mod_test_216,i_mod_test_217,i_mod_test_218,i_mod_test_219,i_mod_test_220,i_mod_test_221,i_mod_test_222,i_mod_test_223,i_mod_test_224,i_mod_test_225,i_mod_test_226,i_mod_test_227,i_mod_test_228,i_mod_test_229,i_mod_test_230,i_mod_test_231,i_mod_test_232,i_mod_test_233,i_mod_test_234,i_mod_test_235,i_mod_test_236,i_mod_test_237,i_mod_test_238,i_mod_test_239,i_mod_test_240,i_mod_test_241,i_mod_test_242,i_mod_test_243,i_mod_test_244,i_mod_test_245,i_mod_test_246,i_mod_test_247,i_mod_test_248,i_mod_test_249,i_mod_test_250,i_mod_test_251,i_mod_test_252,i_mod_test_253,i_mod_test_254,i_mod_test_255,i_mod_test_256,i_mod_test_257,i_mod_test_258,i_mod_test_259,i_mod_test_260,i_mod_test_261,i_mod_test_262,i_mod_test_263,i_mod_test_264,i_mod_test_265,i_mod_test_266,i_mod_test_267,i_mod_test_268,i_mod_test_269,i_mod_test_270,i_mod_test_271,i_mod_test_272,i_mod_test_273,i_mod_test_274,i_mod_test_275,i_mod_test_276,i_mod_test_277,i_mod_test_278,i_mod_test_279,i_mod_test_280,i_mod_test_281,i_mod_test_282,i_mod_test_283,i_mod_test_284,i_mod_test_285,i_mod_test_286,i_mod_test_287,i_mod_test_288,i_mod_test_289,i_mod_test_290,i_mod_test_291,i_mod_test_292,i_mod_test_293,i_mod_test_294,i_mod_test_295,i_mod_test_296,i_mod_test_297,i_mod_test_298,i_mod_test_299,i_mod_test_300,i_mod_test_301,i_mod_test_302,i_mod_test_303,i_mod_test_304,i_mod_test_305,i_mod_test_306,i_mod_test_307,i_mod_test_308,i_mod_test_309,i_mod_test_310,i_mod_test_311,i_mod_test_312,i_mod_test_313,i_mod_test_314,i_mod_test_315,i_mod_test_316,i_mod_test_317,i_mod_test_318,i_mod_test_319,i_mod_test_320,i_mod_test_321,i_mod_test_322,i_mod_test_323,i_mod_test_324,i_mod_test_325,i_mod_test_326,i_mod_test_327,i_mod_test_328,i_mod_test_329,i_mod_test_330,i_mod_test_331,i_mod_test_332,i_mod_test_333,i_mod_test_334,i_mod_test_335,i_mod_test_336,i_mod_test_337,i_mod_test_338,i_mod_test_339,i_mod_test_34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od_test_674,i_mod_test_675,i_mod_test_676,i_mod_test_677,i_mod_test_678,i_mod_test_679,i_mod_test_680,i_mod_test_681,i_mod_test_682,i_mod_test_683,i_mod_test_684,i_mod_test_685,i_mod_test_686,i_mod_test_687,i_mod_test_688,i_mod_test_689,i_mod_test_690,i_mod_test_691,i_mod_test_692,i_mod_test_693,i_mod_test_694,i_mod_test_695,i_mod_test_696,i_mod_test_697,i_mod_test_698,i_mod_test_699,i_mod_test_700,i_mod_test_701,i_mod_test_702,i_mod_test_703,i_mod_test_704,i_mod_test_705,i_mod_test_706,i_mod_test_707,i_mod_test_708,i_mod_test_709,i_mod_test_710,i_mod_test_711,i_mod_test_712,i_mod_test_713,i_mod_test_714,i_mod_test_715,i_mod_test_716,i_mod_test_717,i_mod_test_718,i_mod_test_719,i_mod_test_720,i_mod_test_721,i_mod_test_722,i_mod_test_723,i_mod_test_724,i_mod_test_725,i_mod_test_726,i_mod_test_727,i_mod_test_728,i_mod_test_729,i_mod_test_730,i_mod_test_731) >> xaj.pst
pestpp xaj.pst
2.2.2.2 参数不确定性
应用PEST++对新安江模型参数作不确定性分析，采用线性分析法，结果存储在xaj.par.usum.csv中，在运行记录文件xaj.rec末尾也可见。如下图所示。
▲先验均值为参数初始值，先验方差为参数域的 1 / 4 1/4 1/4，先验上下边界分别为参数初始值 + / − 2 +/-2 +/−2倍先验方差；后验上下边界同样如此计算。
2.2.2.3 预测结果不确定性
PEST++可以对1995-1996年流域出口断面流量过程预测结果作不确定性分析，分析结果存储在xaj.pred.usum.csv中，在运行记录文件xaj.rec末尾也可见。如下图所示。
▲先验均值为参数初始值计算结果，先验方差为参数域上下边界计算结果的 1 / 4 1/4 1/4，先验上下边界分别为参数初始值 + / − 2 +/-2 +/−2倍先验方差；后验均值为参数优化值计算结果，后验上下边界为后验均值 + / − 2 +/-2 +/−2倍后验方差得到。
三、灵敏度分析方法
3.1 局部灵敏度分析
3.1.1 摩尔斯分类筛选法
摩尔斯分类筛选法4 (Morris,1991)为目前应用较广的一种局部灵敏度分析方法。摩尔斯分类筛选法在确定模型各参数灵敏度大小排序时简单有效。
3.2 全局灵敏度分析
3.2.1 RSA
RSA(Regional Sensitivity Analysis)3算法的基本思想是：将目标函数寻优变为可信参数集搜索，即针对目标函数值设定可接受条件，在参数空间内通过随机采样来搜索那些使得目标函数值满足可接受条件的参数，把这些参数记录下来构成可信参数集，并在获得可信参数集的基础上，研究输入数据的不确定性和参数不确定性向模拟结果的传递。通过lISA算法可以求得满足一定要求的参数的分布，而不再是一个单一的最优参数。主要步骤如下：
(1)确定参数可能取值的采样空间，即确定参数取值的上、下限及空间统计分布特征；
(2)设计目标函数，根据已有监测数据，为目标函数取值设定可接受的条件，该条件将被用来把模拟结果及其对应的参数取值划分为可接受和不可接受2种类型；
(3)参数在采样空间随机采样，用采样的参数进行系统模拟；
(4)根据参数模拟的结果对参数进行归类，分别对应于第(2)步骤中的2种划分类型；
(5)重复第(3)和(4)步骤，直至找到要求数量的可以接受的参数。
将可接受参数的累积频率与原始均匀分布进行对比，如果参数对目标函数具有较大的影响，可接受参数的分布离原始分布越远，说明该参数对目标函数的影响越显著，其灵敏度越高、重要性越突出。
3.2.2 Sobol’法
3.3 应用
3.3.1 复合无量纲灵敏度
应用PEST++作灵敏度分析，见xaj.sen文件，结果见如下图。
Dimensionless scaled sensitivities indicate the importance of an observation (here, the daily mean recharge) to the estimation of a parameter or, conversely, the sensitivity of the simulated equivalent of the observation to the parameter.Poeter and Hill (1998) explained that one sensitivity equals the derivative of a simulated value with respect to one parameter.
Composite scaled sensitivities indicate the information content of all the observations for the estimation of a parameter.CSS summarize all the sensitivities for one parameter. CSS are calculated for each parameter using the dimensionless scaled sensitivities for all observations. Because they are dimensionless, CSS can be used to compare the amount of information provided by different types of parameters. Model simulation results will be more sensitive to parameters with large CSS relative to those for other parameters.9
PESTPP-GLM records composite parameter sensitivities in a file named case.sen where case is the filename base of the PEST control file. These are recorded during each iteration of the inversion process. Two composite parameter sensitivities are recorded. The first is the csp statistic of Doherty (2015). PESTPP-GLM also records the composite scaled sensitivity of Hill and Tiedeman (2007) in this same file; see that text for details of its computation. Where regularization is employed in the inversion process, two sets of these two composite sensitivities are calculated. Regularization observations and prior information equations are included in one of them, while these are excluded from the other. Where they are included, the weights applied to regularization are multiplied by the current regularization weight factor.
3.3.2 morris全局灵敏度分析
使用pestpp-sen.exe对模型参数作morris全局灵敏度分析。
命令行如下：
pestpp-sen.exe xaj.pst
结果见xaj.msn：
参考文献
刘娜.GLUE方法在新安江模型中的应用[D].江苏:河海大学,2008. DOI:10.7666/d.y1268526. ↩︎ ↩︎
张洪刚,郭生练,王才君, 等.概念性流域水文模型参数优选技术研究[J].武汉大学学报(工学版),2004,37(3):18-22,26. DOI:10.3969/j.issn.1671-8844.2004.03.005. ↩︎
孟碟.水文模型参数的灵敏度分析[J].水利水电技术,2012,43(2):5-8. DOI:10.3969/j.issn.1000-0860.2012.02.002. ↩︎ ↩︎
薄会娟,董晓华,邓霞.新安江模型参数的局部灵敏度分析[J].人民长江,2010,41(1):25-28. DOI:10.3969/j.issn.1001-4179.2010.01.008. ↩︎ ↩︎
温娅惠,李致家,霍文博, 等.基于不同目标函数GLUE方法参数不确定性研究[J].水力发电,2018,44(11):10-16. DOI:10.3969/j.issn.0559-9342.2018.11.003. ↩︎
王莉莉,包红军,李致家.基于GLUE的流域水文模型参数不确定性研究[J].水力发电,2018,44(9):12-15. DOI:10.3969/j.issn.0559-9342.2018.09.004. ↩︎
http://www.pesthomepage.org/Uncertainty_Analysis.php ↩︎
White, J.T., Welter, D.E. and Doherty, J., 2018. Manual for Version 4 of PEST++. Published by CAELUM. ↩︎ ↩︎ ↩︎
https://pubs.usgs.gov/sir/2006/5041/section4.html ↩︎