信号完整性分析4——电阻的物理基础

信号完整性分析4——电阻的物理基础

所有互连线的电气特性都完全可以应用麦克斯韦方程来描述、这四个方程描述了电场和磁场是如何与边界条件（即一些几何结构中的导体和介质）相互作用的。

4.1 将物理设计转化为电气性能

考虑互连线电气性能敢简单的出发点就是它的等效电路模型。所有的模型都由两部分组成：电路拓扑结构和各个电路元件的参数值。任何互连线建模最简单的出发点就是使用三种理想集总电路元件（电阻、电容、电感）或分布元件（理想传输线电路元件）的一些组合。

什么是将物理设计转化为电气性能： 建模就是将物理设计中线的长、宽、厚和材料特性转化为 $R,L$ 和 $C$ 的电气描述形式

建立了互连线电路模型的拓扑结构后，下一步就是提取参数值，这个过程有时称为寄生提取，即接下来的工作就是考虑如何把几何结构和材料特性转化成理想元件R, L, C 和T 的等效参数值。将使用经验法则、解析近似和数值仿真工具来完成这一步。

4.2 互连线电阻的最佳近似

实际铜线两端间的阻抗看起来非常像理想电阻，它在时域和频域都是恒定的。

在提取互连线的电阻时，实际上在无形中已经假定要以理想电阻作为互连线的模型。

对于互连线电阻，只能给出一个良好的解析近似，且这种近似仅适用于均匀横截面的导线。例如，键合线、引脚线和电路板上的线条，整条线上的直径或线宽都是相同的。

对于导线横截面恒定的这种特殊情况，电阻值可以由下式近似得出：
$$R=\rho \frac{d}{A}$$
其中：
$R$ 表示电阻值，单位为$Q$
$\rho$ 表示导线的体电阻率，单位为$\Omega \cdot cm$
$d$ 表示互连线两端的距离，单位为$cm$
$A$ 表示横截面积，单位为$c{m}^2$

经验法则： 直径为1mil 、长为80mil的键合线的电阻值大概是0.1Ω。(材质：金)

这种近似说明阻值将随着导线长度的增加而线性增加，若将互连线的长度加倍，则阻值也加倍；同时它又与导线的横截面积成反比，即如果横截面增大，阻值就减小。

• 等效的理想电阻器的参数值与结构的几何尺寸和材料特性（也就是体电阻率）有关。如果改变导线的形状，等效的阻值也会改变。

  如果导线的横截面是变化的，例如塑封扁平封装(PQFP) 中的引线架，那么就必须找出一种方法来把实际横截面近似为形状恒定的横截面，否则就不能使用这种近似。

4.3 体电阻率 $\rho$

体电阻率是所有导线都具有的一个基本材料特性，其单位是欧姆·长度单位

• 因为互连线电阻的单位必须是欧姆，面电阻率x 长度／（长度x 长度）才等于欧姆，所以体电阻率的单位必须是欧姆· 长度。

• 体电阻率是一种材料的固有特性，是对材料阻止电流流动的内在阻抗的度量。它不是由材料构成的物体特性或结构特性。。它与我们所看到的材料大小是无关的

  导线越差，电阻率越高，用希腊字母p 来表示材料的体电阻率。另外一个术语一一电导率，通常用希腊字母6 表示，用它来描述材料的导电能力。很显然材料的导电能力越强，电导率就越低。
  $$\rho =\frac{1}{\sigma }$$
  电阻率的单位是$\Omega \cdot m$, 而电导率的单位是$1/(\Omega •m)$。定义$1/\Omega$的单位为$S$ (西门子），所以电导率的单位是$S/m$ 。

  要注意由于工艺条件的不同，大多数互连线材料的体电阻率的变化范围高达10% 。

我们把这个固有材料特性称为 bulk resistivity 或 volume resistivity (均译为体电阻率），要将它与另外两个和电阻相关的术语区分开，即单位长度电阻 (resistance per length) 和方块电阻 (sheet resistance)。

4.4 单位长度电阻

若导线的横截面是均匀的，则互连线电阻与长度成正比。对于均匀横截面的导线，其单位长度的电阻是恒定的：
$$R_L=\frac{R}{d}=\frac{\rho }{A}$$
其中：
$R_L$表示单位长度电阻
$d$ 表示互连线长度
$\rho$ 表示体电阻率
$A$ 表示电流流过的横截面积

经验法则： 键合线的单位长度电阻大约是$1\Omega /in$。常见的键合线长度是$0.1in$, 所以典型的阻值大约是$1\Omega in\times 0.1in=\Omega$ 。$0.05in$ 长的键合线，其阻值就是$1\Omega /in\times 0.05in=0.05\Omega$ 或者$50m\Omega$

AWG（美国线规）

对于铜线，可以由直径估算出单位长度的电阻

详细介绍可以点击右边链接：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%8E%E5%9B%BD%E7%BA%BF%E8%A7%84

没有梯子的话：AWG百度百科

4.5 方块电阻

许多互连线衬底，例如印刷电路板、防火陶瓷基片和薄胶膜基片，都制备有几个均匀的导体平面层，格据版图模板再布成不同的线条。每一层上所有的导线都有相同的厚度。

对于这种线条宽度相同的特殊情况，线条的电阻如下：
$$R=\rho \frac{d}{t\times w}=(\frac{\rho }{t})\times (\frac{d}{w})$$

• 第一项， $(\rho /t)$ ，对于该层上厚度为 $t$ 的所有线条来说，是个常数。在同一层上的所有线条都有相同的体电阻率和相同的厚度，所以这一项称为“层方块电阻值”，并用$R_{sq}$表示。

• 第二项， $(d/w)$，是长与宽的比值。这是线条上能够划分的方块数目，用 $n$ 来表示，且是个无量纲的数。所以矩形线条的电阻可以写为： $R=R_{sq}\times n$

  其中：
  $R_{sq}$表示方块电阻
  $n$ 表示方块的数目

  单位为$\Omega$

理解方块电阻的最简单方法就是认为它是正方形导体片断（也就是长等于宽）两端间的电阻。在这种情况下， n=1, 正方形线条两端间的电阻就是方块电阻。不管正方形的边长是10 mil 还是10 in, 其相对两端间的电阻是恒定不变的。如果长度加倍，可以以为阻值会加倍，然而宽度也加倍了，所以又使阻值减半。这两种作用相互抵消，因此当正方形的尺寸改变时，净电阻会保持不变。

经验法则：0.5 盎司铜的方块电阻是 $1m\Omega /sq$ 。5 mil 宽、5 in 长的线条可以截取成1000 个串联的方块并且阻值是1Ω

• 方块电阻的测量

只要这些探针远离边缘（即到任何一边至少为4 倍探针间距），测量的电阻与实际的探针间距就完全无关

四脚探针： 这四个触点通常安装到刚性支架上，这样就可以使它们处在同一条直线上并且有相同的间距。将这四个探针与被测的
导体层接触放置，并连接到四点电阻分析仪或欧姆表。这样，当在最外边的两个触点施加恒定的电流时，内侧的两个触点间的电压就可以测量出来了
$$R_{meas}=V/I$$
方块电阻$R_{sq}$ 可以由测量的电阻计算：
$$R_{sq}=4.53\times R_{meas}$$
如果知道导体层的方块电阻，就可以计算出单位长度电阻和该导体层中所有导线的电阻。线条通常用宽度w 和长度d 来定义，所以线条的单位长度电阻用下式计算：
$$R_L=\frac{R}{d}=R_{sq}\times \frac{1}{w}$$
其中：
$R_L$ 表示单位长度电阻
$R$ 表示线条电阻
$R_{sq}$ 表示方块电阻
$w$ 表示线条宽度
$d$ 表示线条长度

!!! 到目前为止，计算的这些阻值都是在直流时或者至少是在低频情况时的电阻.

为什么要强调上面那一点？： 由于趋肤效应的影响，线条的阻值将随着频率的升高而加丸虽然铜的体电阻率不变但导线上的电流分布却发生了变化。高频信号分量在贴近表面的很薄的层上传播，这使得有效横截面积减小了。对于1 盎司的铜导线，电阻在20MHz 处开始增加。