信号完整性分析6——电感的物理基础

信号完整性分析6——电感的物理基础

在两条信号线间的耦合，电源分布系统以及EMI 中，电感在信号沿均匀传输线传播的过程中产生突变，从而造成信号完整性问题。很多场合都要设法减小电感，例如减小信号路径间的互感以减小开关噪声，减小电源分布系统的回路电感和减小返回平面的有效电感以减小EMI，而有些场合则要优化电感，如获取所需的特征阻抗时。

6.1 电感的含义

电感是对表面磁场强度的数值积分

6.2 电感定律之一：电流周围将形成闭合磁力线围

磁力线圈是一个新的基本实体，它环绕在所有电流的周围。

• 如果把导体中的电流增大一倍，则电流周围磁力线圈的韦伯数也会增大一倍

• 导线的长度也会影响磁力线的匝数。导线越长，磁力线匝数就越多

• 导线的横截面，这是个二阶效应，并且更是难以捉模， 后面会知道， 如果增大横截面，如将导线做得粗一点，则磁力线匝数就会略有减少

• 附近的其他电流的存在也会对第一个电流周围的磁力线匝数产生影响。以返回电流为例，返回电流靠得越近，它的一些磁力线圈就越会环绕在第一个电流的周围．从而改变磁力线圈的总匝数。另一方面，电介质不会对电流周围的磁力线匝数产生影响。

  磁场根本不会与介质材料相互影响。即使电流被特氟纶(Teflon)或钛酸钡所包国，其周围的磁力线匝数也是不变的

• 只有当导体中含有铁、镍或钴时，构成导线的金属才会影响磁力线的总匝数这3 种金属称为铁磁金属，这些金属和含有这些金属的合金的导磁率都大于1。如果有磁力线圈完全包含在这些金属中，则这些金胧能使磁力线的匝数显著增加，但只是环绕在导体内部的磁力线圈受到影响。

6.3 电感定律之二：电感是导体上流过单位安培电流时，导体周图磁力线圈的韦伯值

电感主要与流过单位安培电流时导体周面的磁力线匝数有关。

电感是关于电流周围磁力线匝数的度量，而不是某一点磁场的绝对值。我们所关心 的不是磁场强度，而是磁力线的匝数。

用来度量电感的单位是1A 电流周围的磁力线圈的韦伯值。$1Wb/A$（韦伯、安培）称做$H$（亨利）。由于大多数互连线结构的电感都远小于1H, 所以通常以纳亨为单位，记为$nH$, 它是对导体通过单位安培电流时其周围的磁力线圈韦伯数大小的度量。
$$L=\frac{N}{I}$$
其中：
$L$ 表示电感，单位为$H$
$N$ 表示导体周围的磁力线匝数，单位为$Wb$
$I$ 表示导体中的电流，单位为$A$

若通过导体的电流加倍，磁力线的匝数也会加倍，但二者比率不变，且该比率与通过导体的电流完全无关。同样，磁力线的匝数改变时，表示这一比率的电感依然不变。

这说明电感实际上和导体的几何结构有关。影响电感的唯一因素就是导体的分布和在铁磁金属情况时导体的导磁率．

仅仅采用电感这一术语时，含义是十分模糊的。所以，要养成使用限定词的良好习惯，明确指出所指电感的准确类型。造成概念困惑最常见的根源就是混淆了电感的不同类型。

6.4 自感和互感

有两条临近的导线a 和b, 如果只有a 中有电流，其周围就会有磁力线圈和电感。如果在第二根导线b 中也有电流，则其周围也会有磁力线圈，从而也有一些电感。导线b产生的一些磁力线圈也将环绕住第一根导线a, 因此对于a 而言，环绕在它周围的磁力线圈一部分由其自身的电流产生，一部分由临近的第二根导线b 的电流产生。

把一根导线自身电流产生的磁力线圈称为自磁力线圈(self-field line loop), 把由临近电流产生的磁力线圈称为互磁力线圈(mutual-field line loop) 。

• 任何源自b 而且环绕在a 周围的磁力线圈一定同时环绕着a 和b。于是我们说，互磁力线 “连接”着a 和b 两个导体。

• 用自感来指在导线中流过单位安培电流时所产生的环绕在导线自身周围的磁力线匝数。通常我们所说的电感实际上是导线的自感。

  导线的自感与其他导线的电流是无关的。如果把另一根通有电流的导线靠近第一根导线，则第一根导线周围的磁力线总匝数也会发生变化，但其自身电流所产生的磁力线匝数是不变的。

• 用互感来指一根导线中流过单位安培电流时产生的环绕在另一根导线周围的磁力线匝数。

  把两根导线拉近时，它们的互感会增大，反之则会减小。互感是磁力线圈匝数与电流的比率，所以仍用单位纳亨来度量互感。

  互感有两个不同寻常的微妙特性：

  1. 对称性

     无论是在第一根导线中加单位安培电流来测量第二根导线周围的磁力线圈匝数，还是在第二根中加单位安培电流来测量第一
     根导线周围的磁力线圈匝数，其得到的结果都是相同的。互感与涉及两根导线的磁力线圈有关，并且它与这两根导线的关系是同等的，即这个特性是两根导线同等共有的，所以有时把互感称为“两导线间的互感”。

     不管每根导线的形状和大小怎样，上述这个结论都是正确的。两根导线的几何形状可以不同

  2. 任意两导体间的互感都小于二者中任意一个的自感

6.5 电感定律之三：当导体周围的磁力线圈匝数变化时，导体两端将产生感应电压

磁力线圈有一个特殊性质：不管什么原因，只要一段导线周围的磁力线总匝数发生变化，导线两端就会产生电压。该电压与磁力线总匝数变化的快慢有着直接关系：
$$V=\frac{\Delta N}{\Delta t}$$
其中：
$V$ 表示导线两端的感应电压
$\Delta N$ 表示磁力线匝数的变化量
$\Delta t$ 表示磁力线匝数变化的时间

如果导线中的电流发生变化，则其周围的自磁力线圈的匝数也将变化，从而在导线两端产生电压。导线周围的磁力线匝数为$N=L\times I$, 其中 $L$ 是这段导线的自感。于是，导线两端所产生的电压（即感应电压）与导线的电感和导线中电流变化的快慢有关：
$$V=\frac{\Delta N}{\Delta t}=\frac{\Delta LI}{\Delta t}=L\frac{dI}{dt}$$

这个由电流变化产生的感应电压引起传输线效应、突变、串扰、开关噪声、轨道塌陷、地弹和大多数电磁于扰源(EMI)。

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• 如上图，互磁力线匝数的变化在第一根导线的两端产生了感应电压。通常另一根导线中的电流发生变化时，我们用串扰来描述在临近导线上产生的感应电压噪声。在这种情况下，产生的电压噪声为：
  $$V_{noise}=M\frac{dI}{dt}$$
  其中：
  $V_{noise}$ 表示第一根导线中的感应电压噪声
  $M$ 表示两根导线之间的万感
  $I$ 表示第二根导线中的电流

  感应电压取决于电流变化的速度，所以有时候用开关噪声或 $\Delta I$ 噪声来描述电感线圈中电流切换时产生的噪声

6.6 局部电感

定义： 在计算磁力线圈的时候，假设这段导线所属的电流回路的剩余部分中不存在电流。由于仅考虑了电流回路的一部分，而且假设回路的其他部分不存在电流，所以把这种电感称为局部电感。一定要记住，当谈到局部电感时，回路的其他部分是不存在的。

分类：

1. 局部自感
2. 局部互感

对于直环形导线，值用简单的近似所计算的局部自感，其精度优于几个百分点，近似式如下：
L = 5 d { l n ( 2 d r ) − 3 4 } L=5d\{ln({\frac {2d}r})-{\frac 34}\} L=5d{ ln(r2d​)−43​}
其中：
$L$ 表示导线的局部自感，单位为 $nH$
$r$ 表示导线的半径，单位为 $in$
$d$ 表示导线的长度，单位为 $in$

导线的局部自感大约是$25nH/in$ 或$1nH/mm$（这仅是个经验法则，它虽易于使用，但是以牺牲精度为代价的）

• 局部自感的一个重要特性：电流分布越分散，局部电感就越小。反之， 电流分布密度越大，局部电感就越大。

两根直的圆导线的局部互感可以近似为：
M = 5 d { l n ( 2 d s ) − 1 + s d − ( s 2 d ) 2 } M=5d\{ln({\frac {2d}s})-1+{\frac sd}-({\frac s{2d}})^2\} M=5d{ ln(s2d​)−1+ds​−(2ds​)2}
其中：
$M$ 表示导线间的局部互感，单位为 $nH$
$d$ 表示两圆杆的长度，单位为 $in$
$s$ 表示两导线的中心距，单位为 $in$

上述这个繁琐公式考虑到了二阶效应，一般认为它是二阶模型。当 $s«d$ 时，即中心距相对于圆杆长度很小时，此公式可以进一步近似简化为：
M = 5 d { l n ( 2 d s ) − 1 } M=5d\{ln({\frac {2d}s})-1\} M=5d{ ln(s2d​)−1}
这是个一阶模型，忽略了两圆杆之间远距离耦合的一些细节，是以牺牲精确度来简化计算的。

经验法则： 当两个导线段间距远大于导线长度时，两段导线间的局部互感小于任一段导线局部自感的10%, 这时互感通常可以忽略不计。

e.g.这就是说，当一根互连线两段的间距大于其长度时，它们之间的耦合就不再重要了。例如，两个长 20mil 的过孔，当它们的中心距大于 20mil 时，这两个过孔之间就几乎没有耦合了。

6.7 有效电感、总电感或净电感及地弹

导线的一部分是直的，然后又折回来，从而组成了完整的回路。对于所有互连线而言，包括信号路径、返回路径、电源路径和地返回路径，这种结构是很常见的。

当回路中有电流通过时，每一个支路都会产生磁力线圈。如果回路的电流发生变化，这两段导线周围的磁力线圈匝数就会随着变化。同理，在每一个支路两端都会产生一个感应电压，此电压取决于支路周围磁力线匝数变化的快慢。

• 当电流为1 安培时，为支路周围的磁力线总匝数赋予一个特殊名称：有数电感、总电感或净电感。

  回路中某一段的有效电感、总电感或净电感是指回路中的电流为单位安培时，环绕在该段周围的磁力线总匝数，其中包括整个回路中任何电流段产生的磁力线。

• 基于两个支路的局部电感，可以计算出每一条支路的有效电感。回路的两个支路a 和b 都有其相应的局部自感，分别记为 $L_a$ 和 $L_b$ ；这两条支路间存在互感，记为 $L_{ab}$ ; 回路中的电流记为 $I$ , 且支路 a 和 b 中电流大小相等，但方向相反。

  由于a 和b 中的电流方向相反，所以互磁力线的绕向与支路b 的自磁力线方向也相反。于是计算支路b 周围的磁力线总匝数时，应
  将这组磁力线圈相减，即为：
  $$N_{total}=N_b-N_{ab}=(L_b-L_{ab})\times I$$

  $(L_b-L_{ab})$ 称为支路b 的总电感、净电感或有数电感，它指的是回路中电流为单位安培时，支路b 周围的磁力线总匝数，其中包括整个回路中所有电流段的影响。有效电感决定了回路电流变化时支路两端的感应电压的大小。

  如果第二条支路是返回路径，则称在该返回路径上所产生的电压为地弹。

  地弹是返回路径中两点之间的电压，它是由于回路中电流变化而产生的的。地弹是产生开关噪声和EMI 的主要原因，主要与返回路径的总电感有关。

  返回路径上的地弹电压降为：
  $$V_{gb}=L_{total}\times \frac{dI}{dt}=(L_b-L_{ab})\times \frac{dI}{dt}$$
  其中：
  $V_{gb}$ 表示地弹电压
  $L_{total}$ 表示返回路径的总电感
  $I$ 表示回路中的电流
  $L_b$ 表示返回路径支路的局部自感
  $L_{ab}$ 表示返回路径和初始路径之间的局部互感

  最小化返回路径上的电压降（也就是地弹电压），只有两条途径

  1. 尽可能减小回路电流的变化。这意味着降低边沿变化率和限制同时共用返回路径的信号路径数目。

  2. 尽可能减小 $L_{total}$

     (1) 减小支路的局部自感：使返回路径尽可能短、尽可能宽（也就是使用平面）

     (2) 增大两支路间的局部互感：使第一条支路与其返回路径尽可能地靠近。

  尽可能让返回电流靠近其他电流，这样可以减小有效电感。

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考虑另外一种情况： 在两条导线中都是电源电流

在这种情况下，电流方向相同，互磁力线圈和自磁力线圈方向相同，二者是相叠加的，所以其中一根电源导线的净电感为$L_{total=}(L_b+L_{ab})$

在这种情况下，由临近引线产生的磁力线方向相同，所以还是要必须尽可能地减小引线之间的局部互感。换言之，导线的间距要尽可能大。

在电源分布系统中，减小任意一条支路净电感的常用设计规则就是尽可能让同向平行电流之间的间距大于它们的长度。

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设计规则： 电流方向相问的过孔间的中心距应至少等于过孔的长度． 电流方向相反的过孔间的中心距要小于过孔的长度

6.8 回路自感和回路互感

在实际中， 电流总是作完整的回路中流动。我们把该完整电流回路的总电感称为回路电感。回路电感事实上就是整个电流向路的自感，或者回路自感。

电流回路的回路自感就是当回路中流过单位安培电流时，环绕在整个回路周围的磁力线总匝轧数也让是回路中电流为 1 A 时从回路的一端开始，沿着导线行走所遇到的回路中所有电流产生的磁力线总匝数，其中包括了导线中每一部分电流分布的影响。

上图a,b回路的回路自感：
$$L_{loop}=L_a-L_{ab}+L_b-L_{ab}=L_a+L_b-2L_{ab}$$
其中：
$L_{loop}$ 表示双引线回路的回路自感
$L_a$ 表示支路a 的局部自感
$L_b$ 表示支路b 的局部自感
$L_{ab}$ 表示支路a 和b 之间的局部互感

该关系式说明两支路靠得越近，回路电感就越小。其中，各支路的局部自感保持不变，而互感增大，互感增大又使得各支路周围的磁力线总匝数减小，从而回路自感也减小了。

有三种重要的特殊几何结构：环形线圈、两条长的并行圆杆和两个宽平板。它们的回路电感有很好的近似公式。
对于环形线圈，其回路电感为：
$$L_{loop}=32\times R\times ln(\frac{4R}{D})nH$$
其中
$L_{loop}$ 表示回路电感，单位为nH
$R$ 表示线圈的半径，单位为in
$D$ 表示构成线圈的导线的直径，单位为m

经验法则： 将拇指和食指围成一个圆，用30 号导线构成同等大小的回路，其回路电感大约为85nH（30 号线规的导线大约10 mil 粗，将其弯成一个直径为1 in 的圆）

回路电感并不与面积或圆周长成正比，而是与半径乘以半径的自然对数（即$R\times lnR$) 成正比。圆周长越大，每一段的局部自感就越大，但同时，回路中相反方向的电流也离得越远，从而它们之间的局部互感就越小。但是，回路电感大致与半径成正比。若圆周长增大，回路电感就会增大。

对于两根相邻的直圆杆，若其中一条为另一条的返回电流路径，则回路电感为：
$$L_{loop}=10\times len\times ln(\frac{s}{r})nH$$
其中：

$L_{loop}$ 表示回路电感，单位为 nH
$len$ 表示圆杆长度，单位为 m
$r$ 表示圆杆半径，单位为mil
$s$ 表示两圆杆的中心距，单位为 mil

该关系式说明，两根平行导线的回路电感直接与导线的长度成正比，与中心距的自然对数成正比中心距变大，回路电感也增大，但它是与间距的自然对数成比例，所以变化很缓慢。

以后我们会发现，任何阻抗可控互连线的单位长度回路电感都是恒定的。

6.9 电源分布系统(PDS) 和回路电感

一些问题与信号路径无关，而是归因于电源路径和地路径，我们称之为电源分布系统或PDS 。由于平面的回路电感非常低，所以平面在分布电源电流和地返回电流中起着至关重要的作用。

PDS 的用途就是为每个芯片的电源焊盘和地焊盘提供恒定的电压。根据器件工艺的不同，该电压一般为5 V, 3.3 V 或2.4 v. 所分配的大多数噪声预算的波动不超过5% 。

要使PDS 的阻抗比较小，有两条设计原则：低频时，添加低阻抗的去耦电容；高频时，使去耦电容和芯片焊盘1司的回路电感最小，以保持它们之间的阻抗低于一定值。

多大的去耦电容？：通过设想在时间段At 内，去耦电容必须提供的电荷量来大数估算出来。

在这段时间内，电容器 $C$ 上有 $\Delta Q$ 的电荷流经芯片释数掉，所以其两端的电压也会降低，压降为$\Delta V$ :
$$\Delta V=\frac{\Delta Q}{C}$$
其中：
$\Delta V$ 表示电容器两端的电压变化量
$\Delta Q$ 表示电容器中减少的电荷桩
$C$ 表示电容器的电容量

那么流经芯片的电流 $I$ 又为多少呢？显然，这主要取决千具体的芯片，并且随着芯片中的代码不同也会有很大的变化。而芯片功耗P 与两端的电压 $V$ 和流经的平均电流有关。

如果给出芯片的平均功耗，则流过芯片的平均电流为：
$$I=\frac{P}{V}$$
把芯片需要的去耦总量所能提供的去耦时间 $\Delta t$ 联系起来，即为：
$$\frac{P}{V}=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{C\Delta V}{\Delta t}$$
从该关系中，可以得出电容器的去耦时间：
$$\Delta t=0.05\times C\times \frac{V^2}{P}$$
或者，在给定时间内所需要的去耦电容量为：
$$C=\frac{1}{0.05}\times \frac{P}{V^2}\times \Delta t$$
其中：
$\Delta t$ 表示电荷从电容器逸出的时间，单位为s
$0.05$ 表示允许的 5% 压降
$C$ 表示去耦电容器的电容，单位为 F
$V$ 表示轨道电压，单位为 V
$P$ 表示芯片的功耗，单位为 W

对于实际的电容器，其末端和芯片上焊盘相连的那段连线之间会有相应的回路电感。该回路电感与理想电容元件相串联，导致实际电容器的阻抗随频率的升高而增大。

测量0603去耦电容器的阻抗的曲线图，这是从电容器一端到另一端的回路阻抗，其中经过元件下面的平面。

低频时，就像理想电容器一样，阻抗随频率的增大而减小。但是，随着频率的升高，从某一点起，串联的回路电感开始在阻抗中起主导作用。该点的频率称为自谐振频率，此后阻抗开始增大。频率大于自谐振频率时，电容器的阻抗与电容量完全无关，只与相应的回路电感有关。所以在频率较高时，如果想减小去耦电容器的阻抗，就要减小与之相关的回路电感，而不是增大电容量。

去耦电容器的一个重要特性就是在频率较高时，阻抗仅与回路电感有关，此电感称为等效串联电感(ESL)

下图给出的是6 个容量各异的 0603 去耦电容器的回路阻抗测量结果

从图中可以看出，低频时，电容量的数量级各不相同，所以它们的阻抗明显不同，但高频时，由于它们在测试板上的安装几何结构相同，故其阻抗也趋于一致。

高频时，减小去耦电容的阻抗的唯一方法就是减小它的回路自感。减小去耦电容的回路自感的最好方法有以下几种：

1. 使电源平面和地平面靠近电路板表面层以缩短过孔；

2. 使用尺寸较小的电容器；

3. 从电容器焊盘到过孔间的连线要尽措短；

4. 将多个电容器并联使用。

从去耦电容器到芯片焊盘间的互连线， 要设计成具有最小的回路电感。除了短表面焊盘和短过孔外，平面也是回路电感极小的一种互连线结构。

6.10 单位面积的回路电感

由两个个平面构成的电流路径的回路电感，取决于每个平面路径的局部自感和它们之间的局部互感。平面越宽．电流分布就越分散，平面的局部自感也就越小， 从而回路电感就越小。平面越长，局部自感就越大，从而回路电感也就越大（ 平面间距越小，平面间的互感就越大，从而回路电感就越小

对于宽导体．宽度w远大于它们的间距 h, 即 w>>b , 两平面间的回路电感可以很精确地近似为：
$$L_{loop}={\mu }_{0}h\frac{Len}{w}$$
其中
$L_{loop}$ 表示回路电感，单位为 nH
${\mu }_0$ 表示自由空间的导磁率，为 32 nH/mil
$h$ 表示平面间距，单位为 mil
$Len$ 表示平面的长度单位为 mil
$w$ 表示平而的宽度． 单位为 mil

此处我们假设电流从平面的一边均匀地流向另一边。

如果该区域为正方形，即长度等于宽度，或长和宽之比与边长无关，则其始终都等于1

一对平面上边长为 100 mil 的正方形区域和边长为 1 in 的正方形区域的回路电感是相同的．即两平面上任何正方形区域的回路电感都相同。

电源平面和地平面尽可能地靠近可以减小平面的回路电感，同时减小轨道塌陷和 $EMI$

6.11 平面和过孔接触孔的回路电感

在平面上，电流并不是从一边流向另一边的。从分离式去耦电容器到它的封装引线，它与平面的连接更像是点接触， 前面的分析中．我们假定电流沿平面是均匀流动的。然而实际中电流并不是均匀的，如果电流由于点接触而受到约束的话，回路电感将会变大。

要更好地估算在实际接触点的平面间的回路电感．只能采用 3D 场求解器。

平面间的回路电感增大是由于过孔约束电流的流动形成了很高的电流密度。对电流流动的约束越大，局部自感和回路电感就越大。有时
候把回路增加的电感称为扩散电感(spreading inductance)。如果接触面积增大，电流密度就会降低扩散电感也会减小。

两平面间的回路电感，即使有扩散电感，也与平面间距成比例。平面间距减小，回路扩散电感也会减小。

经验法则：接触孔直径为 10mil 时，平面间的回路电感约是没有过孔时两相邻平面的单位面积回路电感的4 倍。

对于连接有许多电容和封装引线的一对平面，若使用多对过孔来传导电流，则减小平面间距可以减小所有同时电流突变 $(dI/dt)$ 产生的压降。

对于有去耦电容的平面，其回路电感是由扩散电感决定的，而不是取决于芯片和电容间的距离。 当然，去耦电容的总回路电感与它到芯片的距离有点关系。让去耦电容靠近高功耗芯片，可以把返回平面上的高频电流限制在芯片附近，并使之远离电路板上的 I/O 端口区域，这样就能使驱动外部电缆中共模电流和引起 EMI 的地弹电压噪声减小。

6.12 具有出砂孔区域的平面回路电感

出砂孔： ANTI-PAD 反焊盘

过孔阵列时时都能见到，如BGA 封装下，接插件下和电路板上的高密度区域。

出砂孔会使平面的回路电感增大。我们经常听说封装下面的出砂孔阵列一一钮扣状器件的散应，会使平而的回路电感显著增大，而要知道增加了多少，惟一的方法就是使用场求解器。

要得到最低的回路电感，最优的电源和地互连应使用尽可能宽、尽可能靠近的平面L 若在平面之间使用十分薄的介质，就可以减小去耦电容器与芯片焊盘之间的回路电感，这样会减小轨道塌陷和EMI

6.13 回路互感

若有两个相互独立的电流回路，那么它们之间就会产生互感。回路互感就是第一条回路中有 1 A 电流通过时，它所产生的环绕在第一条回路周围的磁力线匝数。

当第一条回路中的电流发生变化时，环绕在第二条回路周围的磁力线匝数就会改变而且还会产牛噪声，值为：
$$V_{noise}=L_m\frac{dI}{dt}$$
其中:
$V_{noise}$ 表示产生的电压噪声
$L_m$ 表示两问路之间的回路庄感
$dI/dt$ 表示第二条回路电流的变化率

只有当动态同路中的电流变化时，在静态回路中才会产生噪声, 而且这种情况仅在开关跳变时才发生这就是该类噪声经常称为开关噪声，同时开关噪声(SSN) 或 $\Delta I$ 噪声的原因。

减小开关噪声的最重要方法就是减小信号路径和返回路径之间的互感． 这可以通过拉大两回路的距离来实现， 互感不大于两回路自心的最小值，所以减小回路减互感的另一个方法就足减小两回路的自感。

6.14 等效电感

到目前为止，只是讨论了单个两端互连线元件的局部电感和由这样的两个元件串联起来的回路电感。对于两个单独的互连线元件，它们有两种连接方法。串联和并联：

把两个互连线元件间的互感考虑进来使等效电感变得更加复杂了。对于两个局部电感的串联，其等效的局部自感为：
$$L_{series}=L_1+L_2+2L_{12}$$
元件并联连接时，等效的局部自感为：
$$L_{parallel}=\frac{L_1{L}_2-{L_{12}}^2}{L_1+L_2-2L_{12}}$$
其中：

$L_{series}$ 表示串联的等效局部自感

$L_{parallel}$ 表示并联的等效局部自感

$L_1$ 表示其中一个元件的局部自感

$L_2$ 表示另一个元件的局部自感

$L_{12}$ 表示两元件间的局部互感

当局部互惑为零且局部自感相同时，上述关系式简化为我们所熟悉的表达式，即串联的等效电感是其中一个局部自感的2 倍，并联的等效电感是其中一个局部自感的1/2 。

对于两导线的局部自感相同这种特殊情况，串联的等效电感就是其中一个自感与互感之和的2 倍，而并联的等效电感为：
$$L_{parallel}=\frac{1}{2}(L+M)$$
其中：
$L_{parallel}$表示并联的等效局部自感

$L$ 表示单个元件的局部自感

$M$ 表示两元件间的局部互感

从上式可以看出，如果要减小两条并联电流路径的等效电感，只要元件间的互感减小了，其等效电感就会减小

6.15 电感分类

为了清楚起见，对于自感或互感，需要指明其电流源头。然后还要说明所指的是部分电路的局部电感，还是整个电路的回路电感。如果考虑的是某一段电路上的电压噪声，则由于该电压噪声取决于所有的磁力线匝数及其变化，所以需要并清楚在该段电路上的总电感。最后，如果是多个电感形成的组合（如封装中多条引线并联或多个过孔并联时），就要用到等效电感。

分类如下：

1. 电感： 流过单位安培电流时，环绕在导体周围的磁力线匝数。
2. 自感： 导体中流过单位安培电流时，环绕在该导体周围的磁力线匝数。
3. 互感： 某一导体流过单位安培电流时，环绕在另一导体周围的磁力线匝数。
4. 回路电感： 流过单位安培电流时，环绕在整个电流回路周围的磁力线总匝数。
5. 回路自感： 完整电流回路流过单位安培电流时，环绕在该回路周围的磁力线总匝数。
6. 回路互感： 某一完整电流回路流过单位安培电流时，环绕在另一回路周围的磁力线总匝数。
7. 局部电感： 其他地方没有其他电流存在时，环绕在该段导线周困的磁力线忡数。
8. 局部自感： 仅在一段导线中有单位安培电流而在其他地方无其他电流存在时，环绕在该段导线自身周围的磁力线匝数。
9. 局部互感： 仅在某一段导线中有单位安培电流，而其他地方无其他电流存在时，环绕在另一段导线周围的磁力线匝数。
10. 有效电感、净电感或总电感： 当整个回路流过单位安培电流时，环绕在一段导线周围的磁力线总匝数，其中包括源自回路每一部分电流的磁力线。
11. 等效电感： 多个电感的串联或并联相对应的单个自感的大小，其中包括互感的影响。

6.16 电流分布和趋肤深度

频域中， 电流是正弦波，所以很容易就可以计算出电流的分布。

直流时，实心棒中的电流是均匀分布的。在前面计算磁力线匝数时．我们把注意力放在导线外部的磁力线上。事实上，在导线内部也有一些磁力线。它们是自感的—部分

趋肤效应： 一般来说，频率越高，电流越是趋向于在导线的外表面上流动。在某一给定频率，从导线内部到外部表面有特定的电流分布， 这取决于电阻与感性阻抗的相对大小电流密度越大的地方。电阻性阻抗上的压降就越高但是频率越高，内部路径和外部路径的，感性阻抗的差别就越大。这种较员恁味着电流分布随频率而变化，且在高频时，全部电流会趋向导体表面的那一薄层。

随着圆杆中中电流的正弦波频率升高，电流将重新分布．大部分电流选择阻抗最低的路径，即沿着导线外表面。在高频时，就好像是所有的电流在导线表面很薄的一层内流动

对于每一个频率点，从导线表面到导线中心，电流分布以指数下降

在这种几何结构中． 可以把电流层近似成有固定厚度 $\delta$ 的均匀分布．片称该等仪厚度为趋肤深度，它取决于频率、金属的电导率和导磁率：
$$\delta =\sqrt[]{\frac{1}{\sigma \pi {\mu }_0{\mu }_{r}f}}$$
其中：

$\delta$ 表示趋肤深度，单位为m ( 米）
$\sigma$ 表示金属的电导率，单位为S/m
${\mu }_0$ 表示自由空间的导磁率，为4π × 10^-7 H/m
${\mu }_r$ 表示导线的相对导磁率
$f$ 表示正弦波频率，单位为Hz

铜的电导率为5.6 x 10^-7 S/m. 相对导磁率为1 . 所以它的趋肤深度近似为：
$$\delta =66\sqrt[]{\frac{1}{f}}\mu m$$
$f$ 表示正弦波频率，单位为Hz

当电路板上的铜线为1 盎司或者几何厚度为34μm 时，若频率等于或大于10MHz, 则导线中的电流不冉占用布线的整个横截面，趋肤效应在电流分布中起主导作用。

在实际的互连线中，通常有信号路径和返回路径。由于电流回路沿信号路径和返回路径传播，回路自感影响着电流所感受到的阻抗。随着颜率升高，回路自感的阻抗变大，导线中的电流将选择阻抗最小即回路自感最小的路径而重新分布。以下两种效应都会出现：电流在导线内会扩展开，两导线中的电流重新分布以便使两个电流相互靠得更近。两种力量的平衡决定了每根导线中的电流的确切分布。每根导线中的电流都会尽量扩展开以减小局部自感，而与此同时，两导线中的电流又会尽可能地靠近以增大局部互感。最终电流的分布只能用二维场求解器进行计算。

1 盎司铜微带线中的电流分布：在1MHz时，电流儿乎是均匀分布的。10MHz时，电流开始重新分布。高于10MHz 时，趋肤深度远小于横截面的几何厚度并开始主导电流分布。两个例子中，在频率较高时电流都会重新分布以尽可能减小阻抗。随着频率的升高，导线的体电阻率不变。就铜而言，直到频率大于100GHz 时，电阻率才开始发生变化。然而，如果由于趋肤效应的影响而使电流流过的横截面很薄，则互连线的电阻就会增大。

以简单的微带线为例．若微带线由1 盎司的铜构成宽5 叫I, 则在直流时，信号路径的单位长度电阻为：
$$R_{DC}=\frac{\rho }{wt}$$
其中：

$R_{DC}$ 表示直流时单位长度电阻

$\rho$ 表示铜的体电阻率

$w$ 表示信号线的宽度

$t$ 表示信号线的几何厚度

在频率约高于10MHz 时，电流受趋肤深度的限制，而电阻也与频率有关a 此时电流实际所用的导线厚度约等于趋肤深度。所以高频时的电阻实际上就是：
$$R_{HF}=\frac{\rho }{w\delta }$$
其中：
$R_{HF}$ 表示高频时的单位长度电阻
$\rho$ 表示铜的体电阻率
$w$ 表示信号线的宽度
$\delta$ 表示高频时铜的趋肤深度

电流分布与频率相关，所以电阻也和频率有关。此外，电感也会改变。促使电流重新分布就是要减小回路自感，所以回路自感随频率的升高而减小。

直流时，导线的自感由外部自感和内部自感两部分组成。当导线中的电流重新分布时，外部自感不变，但随着越来越多的电流向导线表面移动，内部自感也越来越小，当频率远高千趋肤深度和几何厚薄相当的这个频率时，导线内部的电流会非常小，而内部自感此时几乎为零。

提到微带线的回路自感，通常是指所有电流都在外表面的高频界限情况。如果电流靠近导线表面而且与导线几何厚度无关，这一频率就是趋肤效应的界限，“高频”是指高于这一界限的频率。

6.17 高导磁率材料

导磁率是指导线与磁力线之间的相互作用，而大多数金属的导磁率为1，所以它们与磁力线之间没有相互作用。

但是，当导磁率大于1 时，金属内的磁力线匝数比导磁率为1 时要多。只有3 种金属的导磁率大于1，它们就是铁磁体金属：铁、镍和钴。用这些高导磁率金属制成的互连线，它们的电阻和电感值与频率有很大的关系。

超过趋肤深度极限时，回路电感几乎仅由外部磁力线构成，所以铁磁体导线中的高频信号感受到的回路电感与铜导线的回路电感大致相当。

由于高导磁率，铁磁体导线的趋肤深度比铜导线的趋肤深度要小得多。例如，铢的体电导率约为1.4 × 10^-7 S/m, 导磁率约为100, 所以趋肤深度近似为：
$$\delta =13\sqrt[]{\frac{1}{f}}\mu m$$
在相同频率下，镍导线中电流的横截面要比相同几何结构的铜导线薄得多。另外，体电阻率也比较高，这说明串联阻抗更大。

为了便于焊接元件，通常在电路板表面的微带线上面镀一层镍／金。该镍层对布线的电气特性几乎没有影响，因为从返回路径来看，它在线条的另一面。电流总是沿阻抗最低的路径传输，即电流并不通过镍层。如果导线为实心的镍，那么其电阻和电感与频率有着密切的关系。由于一面是比较厚的铜，因此所有的电流将沿铜中阻抗最低的路径传输，

6.18 涡流

其中一个导体的电流变化时．第二个导体中会产生感应电流．我们称这种电流为涡流

经验法则： 只要电流回路与导电平面的距离小千导线间的跨度，平面上就会产生感应涡流邻近平面总会减
小互连线的回路自感。