bzoj2553: [BeiJing2011]禁忌 AC自动机+矩阵乘法优化Dp

bzoj2553: [BeiJing2011]禁忌

Description

   Magic Land上的人们总是提起那个传说：他们的祖先John在那个东方岛屿帮助Koishi与其姐姐Satori最终战平。而后，Koishi恢复了读心的能力……

如今，在John已经成为传说的时代，再次造访那座岛屿的人们却发现Koishi遇到了新麻烦。
这次她遇到了Flandre Scarlet——她拥有可以使用禁忌魔法而不会受到伤害的能力。
为了说明什么是禁忌魔法及其伤害，引入以下概念：
1．字母集A上的每个非空字符串对应了一个魔法。
其中A是包含了前alphabet个小写字母的集合。
2．有一个集合T，包含了N个字母集A上的字符串
T中的每一串称为一个禁忌串（Taboo string）
3．一个魔法，或等价地，其对应的串s因为包含禁忌而对使用者造成的伤害按以下方式确定：
把s分割成若干段，考虑其中是禁忌串的段的数目，不同的分割可能会有不同的数目，其最大值就是这个伤害。

由于拥有了读心的能力，Koishi总是随机地使用Flandre Scarlet的魔法，可以确定的是，她的魔法正好对应字母集A上所有长度为len的串。
但是，Flandre Scarlet所使用的一些魔法是带有禁忌的，由于其自身特性，她可以使用禁忌魔法而不受到伤害，而Koishi就不同了。可怜的Koishi每一次使用对方的魔法都面临着受到禁忌伤害的威胁。

   你现在需要计算的是如果Koishi使用对方的每一个魔法的概率是均等的，那么每一次随机使用魔法所受到的禁忌伤害的期望值是多少。

Input

第一行包含三个正整数N、len、alphabet。
接下来N行，每行包含一个串Ti，表示禁忌串。

Output

一个非负实数，表示所受到禁忌伤害的期望值。

Sample Input

2 4 2
aa
abb

Sample Output

0.75
【样例1解释】
一共有2^4 = 16种不同的魔法。
需要注意的是“aabb”的禁忌伤害是1而不是2。

HINT

100%的数据中N ≤ 5，len ≤109，1 ≤ alphabet ≤ 26。
在所有数据中，有不少于40%的数据中：N = 1。
数据保证每个串Ti的长度不超过15，并且不是空串。
数据保证每个Ti均仅含有前alphabet个小写字母。
数据保证集合T中没有相同的元素，即对任意不同的i和j，有Ti≠Tj。
【评分方法】
对于每一组数据，如果没有得到正确的输出（TLE、MLE、RTE、输出格式错误等）得0分。
否则：设你的输出是YourAns，标准输出是StdAns：
记MaxEPS = max(1.0 , StdAns)×10-6
如果|YourAns – StdAns| ≤ MaxEPS则得10分，否则得0分。
即：你的答案需要保证相对误差或绝对误差不超过10-6。

分析

一道经典的AC自动机加矩阵乘法优化Dp的题。
一句话题意：等概率生成字母的定长随机串，求其包含最多个模板串个数的期望。
首先考虑如果这个随机串已经生成好了，我们怎么暴力去搞这个问题。
其实这是一个很明显的贪心，就是走到匹配就从头来，贡献++即可。
这个贪心必定是在AC自动机上进行的。
很套路的就是，在AC自动机上建图，枚举所有转移。
如果转移 $trans(u,v)$ 中 $v$ 状态含有模板串，我们强行令 $trans(u,v)=trans(u,S)$
然后我们把边权变成这个转移发生的概率。
这样子可以模拟出全过程。
注意这里转移的是概率，网上有些题解写的是期望，其实是谬误。
因为 $P(i,j)=\sum P(i,k)*P(k,j)$
这个时候如何统计答案？
不难发现，所有答案都集中在 $trans(u,v)=trans(u,st)$ 这一步转移上。
这一步转移对答案的贡献是1，所以期望是 $P_{trans(u,v)} \cdot 1$
这个时候新建虚拟节点 $T$ ，只要在 $trans(u,v)=trans(u,S)$ 时向 $T$ 连边 $P_{trans(u,v)} \cdot 1$ ，即可得到每步的答案为 $w(S,T)$ 。
但是我们统计的是全过程的答案，要保留下之前的答案怎么办？
连边 $w(T,T)=1$ 即可。
再次强调一下，所有和 $T$ 关联的边上的边权代表的是期望，其余自动机中的边上的边权代表的是概率。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 105;
long double A[N][N], B[N][N], C[N][N], tp[N][N];
int ch[N][26], q[N], f[N], sz, p, n, k;
bool val[N];
void Ins(int &u, int c) {u = ch[u][c] ? ch[u][c] : ch[u][c] = ++sz;}
void read() {
    char ch = getchar(); int u = 0;
    for(;ch < 'a' || ch > 'z'; ch = getchar()) ;
    for(;ch >= 'a' && ch <= 'z'; ch = getchar()) Ins(u, ch - 'a');
    val[u] = true;
}
void Build() {
    int L = 0, R = 0;
    for(int i = 0;i < p; ++i) if(ch[0][i]) q[++R] = ch[0][i];
    while(L < R) {
        int u = q[++L];
        for(int i = 0;i < p; ++i) {
            int &v = ch[u][i];
            if(!v) {v = ch[f[u]][i]; continue;}
            f[v] = ch[f[u]][i]; val[v] |= val[f[v]];
            q[++R] = v;
        }
    }
}
void Init(long double A[N][N]) {
    for(int i = 0;i <= sz; ++i)
        for(int j = 0;j <= sz; ++j)
            A[i][j] = 0;
}
void Mem(long double A[N][N], long double B[N][N]) {
    for(int i = 0;i <= sz; ++i)
        for(int j = 0;j <= sz; ++j)
            A[i][j] = B[i][j];
}
void Mul(long double C[N][N], long double A[N][N], long double B[N][N]) {
    Init(tp);
    for(int i = 0;i <= sz; ++i)
        for(int j = 0;j <= sz; ++j)
            for(int k = 0;k <= sz; ++k)
                tp[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
    Mem(C, tp);
}
int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &k, &p);
    while(n--) read();
    Build(); ++sz; long double v = 1.0 / p;
    for(int u = 0;u < sz; ++u)
        for(int i = 0;i < p; ++i)
            if(val[ch[u][i]]) {A[u][0] += v; A[u][sz] += v;}
            else A[u][ch[u][i]] += v;
    A[sz][sz] = 1; Mem(B, A); --k;
    for(; k; Mul(B, B, B), k >>= 1) if(k & 1) Mul(A, A, B);
    printf("%.10lf\n", (double)A[0][sz]);
    return 0;
}