【51NOD1847】奇怪的数学题 min_25筛

题目描述

　　记\(sgcd(i,j)\)为\(i,j\)的次大公约数。

　　给你\(n\)，求
\[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k \]
　　对\(2^{32}\)取模。

　　\(n\leq {10}^9,k\leq 50\)

题解

　　记\(f(n)\)为\(n\)的次大因数

　　显然\(sgcd(i,j)=f(gcd(i,j))\)

　　先推一波式子。
\[ \begin{align} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k\\ =&\sum_{i=1}^n{f(i)}^k(2\sum_{j=1}^\frac{n}{i}\varphi(j)-1) \end{align} \]
　　后面那个\(\varphi(i)\)的前缀和可以杜教筛/min_25筛+数论分块解决，所以只用关心前面这部分。

　　观察min_25筛求质数的\(k\)次方的前缀和的过程，发现在求\(f_{n,j}=\sum_{i=2}^n[i\text{是质数或}i\text{的每个质因子都}>p_j]i^k\)的时候，减掉的那部分就是（最小质因子\(=p_j\)的数除以\(p_j\)后的值）的\(k\)次方和。所以直接把这些东西加起来就是我们要求的答案了。

　　还要加上质数的答案，即区间质数个数。

　　自然数幂求和要用第二类斯特林数那个做法。

　　时间复杂度：\(O(\sqrt{n}k^2+\frac{n^\frac{3}{4}}{\log n})\)或\(O(\sqrt{n}k^2+\frac{n^\frac{3}{4}}{\log n}+n^\frac{2}{3})\)

代码

1

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
    if(a>b)
        swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    char str[100];
    sprintf(str,"%s.in",s);
    freopen(str,"r",stdin);
    sprintf(str,"%s.out",s);
    freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
    int s=0,c,b=0;
    while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');
    if(c=='-')
    {
        c=getchar();
        b=1;
    }
    do
    {
        s=s*10+c-'0';
    }
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
    return b?-s:s;
}
void put(int x)
{
    if(!x)
    {
        putchar('0');
        return;
    }
    static int c[20];
    int t=0;
    while(x)
    {
        c[++t]=x%10;
        x/=10;
    }
    while(t)
        putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
    if(b<a)
    {
        a=b;
        return 1;
    }
    return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
    if(b>a)
    {
        a=b;
        return 1;
    }
    return 0;
}
ll n;
int k;
int fp(int a,int b)
{
    int s=1;
    for(;b;b>>=1,a*=a)
        if(b&1)
            s*=a;
    return s;
}
int S[60][60];
int s[60];
int calc(ll x)
{
    s[0]=x;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        s[i]=1;
        ll v=(x+1)/(i+1)*(i+1);
        s[i]*=(x+1)/(i+1);
        for(ll j=x+1;j>=x-i+1;j--)
            s[i]*=(j==v?1:j);
        for(int j=0;j<i;j++)
            s[i]-=S[i][j]*s[j];
    }
    return s[k];
}
void init()
{
    S[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=k;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            S[i][j]=S[i-1][j-1]-(i-1)*S[i-1][j];
}
namespace gao1
{
    const int m=100000;
    const int M=100010;
    int b[M],pri[M];
    int cnt;
    int f1[M],f2[M];
    int g1[M],g2[M];
    int ans1[M],ans2[M];
    void init()
    {
        for(int i=2;i<=m;i++)
        {
            if(!b[i])
                pri[++cnt]=i;
            for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=m;j++)
            {
                b[i*pri[j]]=1;
                if(i%pri[j]==0)
                    break;
            }
        }
    }
    void gao()
    {
        init();
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            f1[i]=calc(i)-1;
            g1[i]=i-1;
        }
        for(int i=1;n/i>m;i++)
        {
            f2[i]=calc(n/i)-1;
            g2[i]=n/i-1;
        }
        for(int i=1;i<=cnt;i++)
        {
            int j;
            int v=fp(pri[i],k);
            for(j=1;n/pri[i]/j>m&&n/j>=(ll)pri[i]*pri[i];j++)
            {
                ans2[j]+=f2[pri[i]*j]-f1[pri[i]-1];
                f2[j]-=v*(f2[pri[i]*j]-f1[pri[i]-1]);
                g2[j]-=g2[pri[i]*j]-g1[pri[i]-1];
            }
            for(;n/j>m&&n/j>=(ll)pri[i]*pri[i];j++)
            {
                ans2[j]+=f1[n/pri[i]/j]-f1[pri[i]-1];
                f2[j]-=v*(f1[n/pri[i]/j]-f1[pri[i]-1]);
                g2[j]-=g1[n/pri[i]/j]-g1[pri[i]-1];
            }
            for(j=m;j>=2&&j>=(ll)pri[i]*pri[i];j--)
            {
                ans1[j]+=f1[j/pri[i]]-f1[pri[i]-1];
                f1[j]-=v*(f1[j/pri[i]]-f1[pri[i]-1]);
                g1[j]-=g1[j/pri[i]]-g1[pri[i]-1];
            }
        }
        for(int i=1;i<=m;i++)
            ans1[i]+=g1[i];
        for(int i=1;n/i>m;i++)
            ans2[i]+=g2[i];
    }
    int query(ll x)
    {
        return x<=m?ans1[x]:ans2[n/x];
    }
}
namespace gao2
{
    const int m=1000000;
    const int M=1000010;
    int pri[M],b[M],cnt;
    int phi[M],s[M];
    int b2[M],s2[M];
    void init()
    {
        phi[1]=1;
        for(int i=2;i<=m;i++)
        {
            if(!b[i])
            {
                pri[++cnt]=i;
                phi[i]=i-1;
            }
            for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=m;j++)
            {
                b[i*pri[j]]=1;
                if(i%pri[j]==0)
                {
                    phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                    break;
                }
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
            }
        }
        for(int i=1;i<=m;i++)
            s[i]=s[i-1]+phi[i];
    }
    void gao()
    {
        init();
    }
    int query(ll x)
    {
        if(x<=m)
            return s[x];
        if(b2[n/x])
            return s2[n/x];
        b2[n/x]=1;
        int &res=s2[n/x];
        res=x*(x+1)/2;
        for(ll i=2,j;i<=x;i=j+1)
        {
            j=x/(x/i);
            res-=query(x/i)*(j-i+1);
        }
        return res;
    }
}
int main()
{
    open("51nod1847");
    scanf("%lld%d",&n,&k);
    init();
    gao1::gao();
    gao2::gao();
    int ans=0;
    for(ll i=2,j;i<=n;i=j+1)
    {
        j=n/(n/i);
        ans+=(gao1::query(j)-gao1::query(i-1))*(2*gao2::query(n/i)-1);
    }
    printf("%u\n",(unsigned)ans);
    return 0;
}

2

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
    if(a>b)
        swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    char str[100];
    sprintf(str,"%s.in",s);
    freopen(str,"r",stdin);
    sprintf(str,"%s.out",s);
    freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
    int s=0,c,b=0;
    while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');
    if(c=='-')
    {
        c=getchar();
        b=1;
    }
    do
    {
        s=s*10+c-'0';
    }
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
    return b?-s:s;
}
void put(int x)
{
    if(!x)
    {
        putchar('0');
        return;
    }
    static int c[20];
    int t=0;
    while(x)
    {
        c[++t]=x%10;
        x/=10;
    }
    while(t)
        putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
    if(b<a)
    {
        a=b;
        return 1;
    }
    return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
    if(b>a)
    {
        a=b;
        return 1;
    }
    return 0;
}
ll n;
int k;
int fp(int a,int b)
{
    int s=1;
    for(;b;b>>=1,a*=a)
        if(b&1)
            s*=a;
    return s;
}
int S[60][60];
int s[60];
int calc(ll x)
{
    s[0]=x;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        s[i]=1;
        ll v=(x+1)/(i+1)*(i+1);
        s[i]*=(x+1)/(i+1);
        for(ll j=x+1;j>=x-i+1;j--)
            s[i]*=(j==v?1:j);
        for(int j=0;j<i;j++)
            s[i]-=S[i][j]*s[j];
    }
    return s[k];
}
void init()
{
    S[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=k;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            S[i][j]=(S[i-1][j-1]-(i-1)*S[i-1][j]);
}
namespace gao1
{
    const int m=100000;
    const int M=100010;
    int b[M],pri[M];
    int cnt;
    int f1[M],f2[M];
    int ans1[M],ans2[M];
    void init()
    {
        for(int i=2;i<=m;i++)
        {
            if(!b[i])
                pri[++cnt]=i;
            for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=m;j++)
            {
                b[i*pri[j]]=1;
                if(i%pri[j]==0)
                    break;
            }
        }
    }
    void gao()
    {
        init();
        for(int i=1;i<=m;i++)
            f1[i]=calc(i)-1;
        for(int i=1;n/i>m;i++)
            f2[i]=calc(n/i)-1;
        for(int i=1;i<=cnt;i++)
        {
            int j;
            int v=fp(pri[i],k);
            for(j=1;n/pri[i]/j>m&&n/j>=(ll)pri[i]*pri[i];j++)
            {
                int x=f2[pri[i]*j]-f1[pri[i]-1];
                ans2[j]+=x;
                f2[j]-=v*x;
            }
            for(;n/j>m&&n/j>=(ll)pri[i]*pri[i];j++)
            {
                int x=f1[n/pri[i]/j]-f1[pri[i]-1];;
                ans2[j]+=x;
                f2[j]-=v*x;
            }
            for(j=m;j>=(ll)pri[i]*pri[i];j--)
            {
                int x=f1[j/pri[i]]-f1[pri[i]-1];
                ans1[j]+=x;
                f1[j]-=v*x;
            }
        }
    }
    int query(ll x)
    {
        return x<=m?ans1[x]:ans2[n/x];
    }
}
namespace gao2
{
    const int m=100000;
    const int M=100010;
    int pri[M],b[M],cnt;
    int f1[M],f2[M],g1[M],g2[M];
    vector<int> s1[M],s2[M];
    vector<short> b1[M],b2[M];
    void init()
    {
        for(int i=2;i<=m;i++)
        {
            if(!b[i])
                pri[++cnt]=i;
            for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=m;j++)
            {
                b[i*pri[j]]=1;
                if(i%pri[j]==0)
                    break;
            }
        }
        pri[cnt+1]=m+1;
    }
    void gao()
    {
        init();
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            f1[i]=(ll)(i+2)*(i-1)/2;
            g1[i]=i-1;
        }
        for(int i=1;n/i>m;i++)
        {
            f2[i]=(n/i&1?(n/i-1)/2*(n/i+2):(n/i+2)/2*(n/i-1));
            g2[i]=n/i-1;
        }
        for(int i=1;i<=cnt;i++)
        {
            int j;
            int x=f1[pri[i]-1];
            int y=g1[pri[i]-1];
            for(j=1;n/pri[i]/j>m&&n/j>=(ll)pri[i]*pri[i];j++)
            {
                f2[j]-=pri[i]*(f2[pri[i]*j]-x);
                g2[j]-=g2[pri[i]*j]-y;
            }
            for(;n/j>m&&n/j>=(ll)pri[i]*pri[i];j++)
            {
                f2[j]-=pri[i]*(f1[n/pri[i]/j]-x);
                g2[j]-=g1[n/pri[i]/j]-y;
            }
            for(j=m;j>=2&&j>=(ll)pri[i]*pri[i];j--)
            {
                f1[j]-=pri[i]*(f1[j/pri[i]]-x);
                g1[j]-=g1[j/pri[i]]-y;
            }
        }
        for(int i=1;i<=m;i++)
            gao1::ans1[i]+=g1[i];
        for(int i=1;n/i>m;i++)
            gao1::ans2[i]+=g2[i];
        for(int i=1;i<=m;i++)
            f1[i]-=g1[i];
        for(int i=1;n/i>m;i++)
            f2[i]-=g2[i];
        for(int i=1;i<=cnt;i++)
        {
            if((ll)pri[i]*pri[i]<m)
            {
                s1[i].resize(m-pri[i]*pri[i]+1);
                b1[i].resize(m-pri[i]*pri[i]+1);
            }
            if((ll)pri[i]*pri[i]<=m)
            {
                s2[i].resize(n/m+1);
                b2[i].resize(n/m+1);
            }
            else if((ll)pri[i]*pri[i]<=n)
            {
                s2[i].resize(n/pri[i]/pri[i]+1);
                b2[i].resize(n/pri[i]/pri[i]+1);
            }
        }
    }
    int gets(ll x,int y)
    {
        if(x<=1||x<pri[y])
            return 0;
        if(x<(ll)pri[y]*pri[y])
            return (x<=m?f1[x]:f2[n/x])-f1[pri[y]-1];
        short &c=(x<=m?b1[y][m-x]:b2[y][n/x]);
        int &res=(x<=m?s1[y][m-x]:s2[y][n/x]);
        if(c)
            return res;
        c=1;
        res=(x<=m?f1[x]:f2[n/x])-f1[pri[y]-1];
        for(int i=y;i<=cnt&&(ll)pri[i]*pri[i]<=x;i++)
        {
            ll s=pri[i],s2=1;
            for(int j=1;s*pri[i]<=x;s*=pri[i],j++,s2*=pri[i])
                res+=(gets(x/s,i+1)*s2+s)*(pri[i]-1);
        }
        return res;
    }
    int query(ll x)
    {
        return gets(x,1)+1;
    }
}
int main()
{
    open("51nod1847");
    scanf("%lld%d",&n,&k);
    init();
    gao1::gao();
    gao2::gao();
    int ans=0;
    for(ll i=2,j;i<=n;i=j+1)
    {
        j=n/(n/i);
        ans+=(gao1::query(j)-gao1::query(i-1))*(2*gao2::query(n/i)-1);
    }
    printf("%u\n",ans);
    return 0;
}