【51NOD 1847】奇怪的数学题

Description

给出 N,K ,请计算下面这个式子:

$$\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N sgcd(i,j)^k$$
其中,sgcd(i, j)表示(i, j)的所有公约数中第二大的,特殊地,如果gcd(i, j) = 1, 那么sgcd(i, j) = 0。
考虑到答案太大,请输出答案对2^32取模的结果.
$1≤N≤10^9,1≤K≤50$
样例解释:
因为gcd(i, j)=1时sgcd(i,j)=0对答案没有贡献,所以我们只考虑gcd(i,j)>1的情况.
当i是2时,j是2时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1
当i是2时,j是4时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1
当i是3时,j是3时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1
当i是4时,j是2时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1
当i是4时,j是4时,sgcd(i,j)=2,它的K次方是8
当i是5时,j是5时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1

Solution

本题要用Min_25筛，

显然，sgcd就是gcd再乘上它最小的质因子，
先上反演标准式子，假设只求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\gcd(i,j)$

$$\sum_{i=1}^ni*(2*(\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\varphi(j))-\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$$
如果你像我这样暴力，直接设 $S(x,j)$
$$S(x,j)=\sum_{i=1}^x[i为质数或i的最小质因子大于p_j]*i^k*(2*(\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{x}{i}\rfloor}\varphi(j))-\lfloor\frac{x}{i}\rfloor)$$

转移十分暴力，总复杂度很大（不会算），压线过，

如果你聪明一点，设$S(x,j)=\sum_{i=2}^x(i/(i的最小质因子))^k$
转移就简单多了，计算答案也很简单，复杂度也有保证，

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define efo(i,q) for(int i=A[q];i;i=B[i][0])
#define min(q,w) ((q)>(w)?(w):(q))
#define max(q,w) ((q)<(w)?(w):(q))
#define abs(q) ((q)<0?-(q):(q))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned int Uin;
const int N=2000500;
const LL mo=4294967296LL;
int read(int &n)
{
    char ch=' ';int q=0,w=1;
    for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;
}
LL m,n;
LL ans;
int K;
int M;
bool prz[N];
int pr[N];
Uin prs[N],prk[N];
Uin phi[N],phi1[N];
Uin Ss[55][55],ds[55];
Uin s1[N],s2[N];
bool s1z[N],s2z[N];
LL d1[N];
Uin ksm(Uin q,int w)
{
    Uin ans=1;
    for(;w;w>>=1,q=q*q)if(w&1)ans=ans*q;
    return ans;
}
void Pre(int n)
{
    phi[1]=s1[1]=1;
    fo(i,2,n)
    {
        if(!prz[i])pr[++pr[0]]=i,phi[i]=i-1,prs[pr[0]]=prs[pr[0]-1]+(s1[i]=ksm(i,K));
        fo(j,1,pr[0])
        {
            int t=i*pr[j];
            if(t>n)break;
            prz[t]=1;
            phi[t]=phi[i]*pr[j];
            s1[t]=s1[i]*s1[pr[j]];
            if(i%pr[j]==0)break;
            phi[t]=phi[i]*(pr[j]-1);
        }
    }
    fo(i,2,n)phi[i]+=phi[i-1],s1[i]+=s1[i-1];
}
Uin Gsum(Uin n)
{
    if(!n)return 0;
    if((int)n<=M)return s1[n];
    else if(s2z[(::n)/n])return s2[(::n)/n];
    if(n&1)ds[0]=n;
    else ds[0]=n;
    fo(i,1,K)
    {
        ds[i]=1;
        for(Uin j=n+1;(int)n-(int)j<i;--j)if(j%(i+1))ds[i]*=j;
            else ds[i]*=(Uin)j/(i+1);
        fo(j,0,i-1)if((i+j)&1)ds[i]+=ds[j]*Ss[i][j];else ds[i]-=ds[j]*Ss[i][j];
    }
    s2[(::n)/n]=ds[K],s2z[(::n)/n]=1;
    return ds[K];
}
Uin Gphi(Uin n)
{
    if(n<=M)return phi[n];
    if(phi1[(::n)/n])return phi1[(::n)/n];
    Uin ans;
    if(n&1)ans=((Uin)(n+1)/2)*n;
    else ans=n/2*(Uin)(n+1);
    for(Uin i=2,nx;i<=n;i=nx+1)
    {
        nx=n/(n/i);
        ans=(ans-Gphi(n/i)*(nx-i+1))%mo;
    }
    return phi1[(::n)/n]=ans;
}
Uin f[N],f1[N];
Uin d[N],id[N],id1[2000];
Uin Gt;
Uin Gdoit(Uin n)
{
    Uin ans=0;Gt=0;
    for(Uin i=2,nx;i<=n;i=nx+1)
    { 
        nx=n/(n/i);
        Gt+=Gphi(n/i)*(Uin)(nx-i+1);
        ans+=Gphi(n/i)*(Gsum(nx)-Gsum(i-1));
    }
    ans=ans*2;
    Gt=Gt*2-n+1;
    ans-=Gsum(n);
    return ans+1;
}
int gcd(int x,int y){return y?(gcd(y,x%y)):x;}
int gv[N],gv1[2000];
Uin g[N],g1[2000];
Uin gg[N],gg1[2000];
Uin Gjian(int n,int m)
{
    int S=1;
    Uin ans=0;Gt=0;
    if(n<=M)S=max(S,gv[n]+1),ans=g[n],Gt=gg[n];
    else S=max(S,gv1[(::n)/n]+1),ans=g1[(::n)/n],Gt=gg1[(::n)/n];
    for(int i=S,nx;i<=m;i+=nx)
    {
        for(nx=1;i+(nx<<1)<m&&n/pr[i+(nx<<1)-1]==n/pr[i];nx<<=1);
        ans+=Gphi(n/pr[i])*(prk[nx+i-1]-prk[i-1]);
        Gt+=Gphi(n/pr[i])*(Uin)(nx);
    }
    if(n<=M)gv[n]=m,g[n]=ans,gg[n]=Gt;
    else gv1[(::n)/n]=m,g1[(::n)/n]=ans,gg1[(::n)/n]=Gt;
    Gt=Gt*2-(Uin)m;
    return ans*2-prs[m];
}
Uin Gs(Uin n)
{
    for(Uin i=1,nx;i<=n;i=nx+1)
    {
        nx=n/(n/i);
        int t=n/i;
        d[++d[0]]=t;
        if(t<=M)id[t]=d[0];
        else id1[n/t]=d[0];
        f[d[0]]=Gdoit(t);
        f1[d[0]]=Gt;
    }
    Uin ans=0;
    fo(j,1,pr[0]-1)
    {
        if(pr[j]*pr[j]>n)break;
        int q=n/pr[j];
        Uin t=0;
        if(n/pr[j]<=M)t=f[id[q]];
        else t=f[id1[n/(q)]];
        t-=Gjian(q,j-1);
        ans+=t;
        Uin pk=prk[j]=ksm(pr[j],K);
        prk[j]+=prk[j-1];
        for(int i=1;i<=d[0]&&d[i]>=(LL)pr[j]*pr[j];++i)
        {
            int t=d[i]/pr[j];
            if(t<=M)t=id[t];else t=id1[n/t];
            f[i]-=(f[t]-Gjian(d[i]/pr[j],j-1))*pk;
            f1[i]-=(f1[t]-Gt);
        }
    }
    return ans+f1[1];
}
int main()
{
    scanf("%lld%d",&n,&K);
    M=2e6;
    Pre(M);
    Ss[1][1]=d1[1]=1;
    fo(i,2,K)
    {
        fod(j,i,1)d1[j]=(d1[j-1]+(i-1LL)*d1[j])%mo,Ss[i][j]=abs(d1[j]);
    }
    printf("%u\n",Gs(n));
    return 0;
}