数学是精确的学科，自然语言在逻辑结构方面有天然的弱势，而程序语言天然的具有清晰的逻辑结构，我们可以尝试用它来解释一些拗口的定义。
极限的出现是为了解决没有定义的点的计算，比如sinx/x在x=0处的问题，x=0让分母为0，使得计算没有意义，迫切需要新的数学工具来研究这类问题。极限的概念不是一蹴而就的，历史上很多数学家对极限进行了研究，我们现在看到的极限定义是柯西在19世纪给的定义。
Whenever a point x is within δ units of c, f(x) is within ε units of L
图片来源：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:L%C3%ADmite_01.svg感谢作者
函数极限的定义
百度百科中文定义是这样的：
定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，都 ，使不等式
在 时恒成立，那么常数
就叫做函数
当
时的极限，记作
维基百科英文定义是这样的：
英文的定义更加简短，实质上国内教科书都是按照这个定义翻译过来的，我觉得翻译的不是很好，极限毕竟是一个人为设定的逻辑概念，没有突出先名称，后成立条件的自然关系。
听起来很拗口，极限如果存在，只能是一个数，我想象不到任何其它的事物，极限只能以确切的数的形式存在，确切性，是极限的唯一属性。这样的东西用自然语言定义好吗？我尝试用程序语言来解释。
程序语言中，会有如下转换：
任意给定正数： 每一个正数，一个也不能漏掉，只要有一个不满足，就是错的，所以是遍历所有的正数。
存在：至少可以找到一个数
成立：为真
有定义：有确定的数值
去心邻域：除了中心点数外所有的数
因此，上述定义就变成：遍历某个小范围的正数e，都有以下事实：
存在正数dx，当x满足不等式0<|x-x0|<dx时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<e
这里强调的是，存在一个连续的区域：x0的dx邻域，在这片区域里，f(x)取值都是在A的e邻域内。
因此，上述定义就变成：遍历某个小范围的正数x1，至少能找到一个dx：
当x满足不等式0<|x-x0|<dx时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<e
也就是说，遍历dx限制下的x的取值，都满足 |f(x)-A|<e，就说明A是自变量趋向x0时的极限。
上面过程中有一个不满足，就说明A不是自变量趋向x0时的极限。
至此，我们就理清了整个逻辑结构。现在把它转化成伪代码。
bool A_Is_Limit_Or_Not( f(x), A, x0){
for (i=0;i<fx_field;i++){ //针对f(x),给定一个小邻域半径fx_field，遍历所有取值，检查其中每一个正数,也就是e
for (j=0;j<x_field;j++){ //针对自变量x，给定一个小邻域半径x_field，遍历所有取值，找到一个dx
for(x=x0-dx;x<x0+dx;x++){ //把dx作为小邻域半径，遍历dx邻域中的每一个x，检查对应的每一个函数f(x)取值
if ( !( |f(x)-A|<fx_field ) ) //检查函数f(x)和A的差能否被小邻域半径内的取值e控制住
return false;//不是极限，结束函数
}
}
}
return true;//能够执行到这里，说明!( |f(x)-A|<fx_field )从未成立过，所以A是趋于x0的极限，结束函数
}注明：我在这里写的i++，j++，x++，并不是真的有一个整数在做自增1操作，而是想表现变量在定义域里逐个取值的含义。
关于用程序语言表达数学，这里有一个视频讲的很不错，我也是受了启发才写的这篇文章。
