BZOJ2521 [Shoi2010][XSYOJ2932]最小生成树_最小割题解

5.26 T2:最小生成树

Description

Secsa最近对最小生成树问题特别感兴趣。他已经知道如果要去求出一个n个点、m条边的无向图的最小生成树有一个Krustal算法和另一个Prim的算法。另外，他还知道，某一个图可能有多种不同的最小生成树。例如，下面图 3中所示的都是图 2中的无向图的最小生成树：

当然啦，这些都不是今天需要你解决的问题。Secsa想知道对于某一条无向图中的边AB，至少需要多少代价可以保证AB边在这个无向图的最小生成树中。为了使得AB边一定在最小生成树中，你可以对这个无向图进行操作，一次单独的操作是指：先选择一条图中的边 P1P2，再把图中除了这条边以外的边，每一条的权值都减少1。如图 4所示就是一次这样的操作：

Input

输入文件的第一行有3个正整数n、m、Lab分别表示无向图中的点数、边数、必须要在最小生成树中出现的AB边的标号。

接下来m行依次描述标号为1,2,3…m的无向边，每行描述一条边。每个描述包含3个整数x、y、d，表示这条边连接着标号为x、y的点，且这条边的权值为d。

输入文件保证1<=x,y<=N,x不等于y,且输入数据保证这个无向图一定是一个连通图。

Output

输出文件只有一行，这行只有一个整数，即，使得标号为Lab边一定出现最小生成树中的最少操作次数。

Sample Input

Sample Output

HINT

第1个样例就是问题描述中的例子。

1<=n<=500,1<=M<=800,1<=D<10^6

Solution

首先，除了一条边，所有边的权值-1等价于这条边的权值+1。然后我们回忆Kruskal的过程，这条边保证在最小生成树上，等价于：如果我们只加入权值<=这条边权值的边，该条边的两端点无法连通。那么直接转化成最小割问题，割掉每条边的代价=选定边权值-当前边权值+1即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
 
const int inf=0x7fffffff,maxn=501;
 
int n,m,lab,tot,s,t,head[maxn],cur[maxn],dep[maxn],u[maxn<<1],v[maxn<<1],w[maxn<<1],to[maxn<<3],nxt[maxn<<3],val[maxn<<3];
 
void add_edge(int u,int v,int w){
    nxt[++tot]=head[u];
    to[tot]=v;
    val[tot]=w;
    head[u]=tot;
}
 
bool bfs(){
    memset(dep,0,sizeof(dep));
    queue<int> q;q.push(s);
    dep[s]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
            int v=to[i],w=val[i];
            if(!w or dep[v])continue;
            dep[v]=dep[u]+1;
            if(v==t)return 1;
            q.push(v);
        }
    }
    return 0;
}
int dfs(int u,int now){
    if(u==t or !now)
        return now;
    int ans=0;
    for(int &i=cur[u];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i],w=val[i];
        if(dep[v]==dep[u]+1 and w){
            int dist=dfs(v,min(now,w));
            if(dist){
                val[i]-=dist;
                val[i^1]+=dist;
                now-=dist;
                ans+=dist;
                if(!now)
                    break;
            }
        }
    }
    return ans;
}
int dinic(){
    int ans=0;
    while(bfs()){
        memcpy(cur,head,sizeof(head));
        int tmp;
        while(tmp=dfs(s,inf))ans+=tmp;
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&lab);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]);
    s=u[lab];t=v[lab];
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(i!=lab and w[i]<=w[lab]){
            add_edge(u[i],v[i],w[lab]-w[i]+1);
            add_edge(v[i],u[i],w[lab]-w[i]+1);
        }
    }
    printf("%d",dinic());
    return 0;
}