二叉堆/堆排序概念理解以及Java语言实现（学习笔记）
1.基础概念介绍
（1）满二叉树：每一层都达到了最大节点数，高度为h的满二叉树节点数为pow(2,h)-1 ( pow(x,y)代表x^y )
如图所示：
（2）完全二叉树：高度为h的二叉树每一个节点都和高度为h的满二叉树节点编号一一对应，那么它就是满二叉树。
如图所示：
[1] 高度为h的完全二叉树节点数取值范围[pow(2,h-1),pow(2,h)-1],可见完全二叉树的高度是O( log(n) )
[2] 满二叉树是特殊的完全二叉树
[3]根节点编号记为1，对于节点i，它的左孩子编号为2i，右孩子编号为2i+1,对于节点i，它的父节点为floor(i/2) (floor表示向下取整)。完全二叉树适合用顺序存储结构来表示
（4）二叉堆概念：
[1] 首先是一颗完全二叉树
[2] 小根堆：任何一个节点小于等于它的左孩子且小于等于他的右孩子
[3] 大根堆：任何一个节点大于等于它的左孩子且大于等于他的右孩子
举个例子（大根堆）：
2.堆排序
[1] 堆排序属于选择排序，第i趟在n-i+1个元素中选择最大（值），作为子序列的第i个元素。
[2]和AVL树、红黑树、B树和B+树不同，他们是用于查找的，但堆是用于排序的。
2.1 建立大根堆（在已有序列基础上建立）
设序列长度为n，则最后一个父节点编号为floor(n/2) （floor表示向下取整）
[1] i=floor(n/2),查看节点i和它的孩子，如果节点i小于两个（也可能是一个）孩子的最大值，则把节点i和最大孩子交换
[2] 令i减少1，查看节点i和它的孩子，如果节点i小于两个（也可能是一个）孩子的最大值，则把节点i和最大孩子交换，以交换后的孩子为根节点的树可能不再满足堆的定义，如果不满足需要对它进行调整（下调）（多级的调整）
[3] 重复[2]，直到i=1
如图：
空间复杂度：O(1)
时间复杂度：O(n)
Java实现：
实际上Java可以比较任何对象的大小，我的上篇博客有讲到（https://blog.csdn.net/weixin_42111859/article/details/104132520），这里用int数组（ArrayList更合适，可以动态添加删除，更加灵活）举个例子：
// 从0编号，i左孩子为2i+1，右孩子为2i+2，父节点为(i+1)/2-1
private static void buildMaxHeap(int[] array) {
for (int i = array.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
adjustDown(i, array);
}
}
// 使得i为顶点的子树成为堆
private static void adjustDown(int i, int[] array) {
for (int j = i; j < array.length; ) {
// k为较大的孩子
int k;
// 有两个孩子
if (array.length >= 2 * j + 3) {
k = array[2 * j + 1] > array[2 * j + 2] ? 2 * j + 1 : 2 * j + 2;
}
// 只有左孩子
else if (array.length >= 2 * j + 2) {
k = 2 * j + 1;
}
// 没有孩子
else {
break;
}
// 父节点更大，不必交换
if (array[j] >= array[k]) {
break;
}
// 交换
int temp = array[j];
array[j] = array[k];
array[k] = temp;
j = k;
}
}
@Test
public void testBuildMaxHeap() {
int[] a = {
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
System.out.println(Arrays.toString(a));
buildMaxHeap(a);
System.out.println(Arrays.toString(a));
}
控制台输出结果：
代码和上面的例子是对应的
2.2 堆排序
第i趟，先取堆顶元素（堆顶一定是最大值），然后把堆底赋给堆顶，对n-i个元素下调（建立大根堆）
这也是不断删除最大元素的过程
时间复杂度：O( n*log(n) )
空间复杂度：O(1) 下面代码中用一个数组存储结果了，实际上可以输出或者用迭代器返回结果，只需要常数个辅助单元
如果只求前m大的值，时间复杂度为 O( m*log(n) )
java代码：
public static int[] heapSort(int[] array) {
buildMaxHeap(array);
int[] rlt = new int[array.length];
int index = 0;
for (int i = array.length - 1; i >= 0; i--) {
// 保存堆顶元素
rlt[index++] = array[0];
// 堆底给堆顶
array[0] = array[i];
// 构建大根堆
adjustDown(0, array, i);
}
return rlt;
}
@Test
public void testHeapSort() {
int[] a = {
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
System.out.println(Arrays.toString(a));
System.out.println(Arrays.toString(heapSort(a)));
}
运行结果为：
2.3 堆的插入
堆是可以插入元素的，尾接新元素，如果比父元素更大就交换，然后重复这个步骤（上调）
举一个例子（不写代码了）：
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