【5.4 清北笔记】

1

树上每次询问两点间的最大流，支持花费a的费用增加一条流量为1的边，花费b的费用给一条边扩容，最多花费k元。

首先如果加边不必扩容贵，那么肯定只加边
分情况讨论，取max：
1.只加边
2.只扩容
3.先加边然后在这条边上扩容
1、3种情况很好处理，倍增求一下路径最小值就好了
对于第二种情况，我们可以二分流量扩成了多少，那么原来小于这个流量的边都应该被扩容到这个流量
问题变成了查询一条链上小于某个数的和。于是在树上建主席树。
由于主席树本身是一个二分结构，所以直接在主席树上二分就好了。看一下能不能扩容到mid，能就往右走，否则往左走。
复杂度 $O(nlogn)$

2

树上询问最远同色点的距离，带修改。（bzoj3456）

考虑点分治
带修改点分治怎么做？
发现每次只会修改一颗子树的值。
每颗子树维护黑色最大值堆，白色最大值堆，和的最大值堆

3

n个点无向联通简单图个数
令$h_i$表示n个点构成的所有图的数量
$f_i$表示n个点构成的连通图的数量
$g_i$表示n个点构成的不连通图的数量
显然，$f_i=h_i-g_i\space ,\space h_i=2^{n*(n-1)/2}$
考虑如何求$g_i$。
假设我们固定一个点，枚举这个点所在的联通块大小，可得：

$$g_n=\sum_{i=1}^{n-1} f_i*{n-1\choose i-1}*h_{n-i}$$
把组合数展开，合并一下：
$$\begin{split} g_n&=\sum_{i=1}^{n-1} f_i*{n-1\choose i-1}*h_{n-i} \\ &=\sum_{i=1}^{n-1} f_i*\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}*h_{n-i} \\ &=(n-1)!\space \sum_{i=1}^{n-1} \frac{f_i}{(i-1)!}*\frac{h_{n-i}}{(n-i)!} \end{split}$$
发现是一个卷积的形式
求fi
fi呈上hj会对fi+j产生贡献
分成两段
地柜计算左边 计算左边堆右边的贡献
合并 fft

4

点修改 换根 改链 询问子树最大值
（不基于dfs序）
询问子树最大值
就是它所有儿子的最大值取max和自己取max
维护一个堆
1.重儿子
2.轻儿子

对于2.维护一个堆，存它所有沿着轻边向下走的子树在最大值

对于1， 查询他的重儿子 递归往下做

修改一条路径 最多经过log条轻边，更改一下
2353

先手必胜当且仅当变数为偶数
一条边xy可以删除当且仅当xy度数奇偶性相同
也就是说xy项链的原来能删的边变得不能删了
不能删的边变得能删了
推一波狮子
假设总共有k条边能k-a-b
k-1-a-a+(d_p1-a-1)+(d_p2-b-1)
原来有奇数条边现在有偶数条边
所以有奇数条可删除的边必胜
任何一条不可删除的边一定链接一个基点和一个偶数点
一张图的度数和为偶数
所以一定有偶数个度数为奇数的点
折半搜索 fft

n个点m跳变的无向图 询问保留编号zailr的边的时候图中联通快的个数
按照询问区间的右端点排序
问题是删边以后可能有的边会加进来
考虑从右往左加边
这样从左向右删边的时候，如果是一条树边 那么删掉以后联通快一定加一
因为他后面没有可以替代他的边了
但是这样就处理不了第三个区间了
发现我们要做的其实是选择尽量靠右的边做一颗生成树
所以从左到右加边 找到还上编号最小的边 删去
要加进a要先删掉b a->b
联通快个数等价于求树边数量
树边数量等于区间内箭头指向左端点左侧的边的数量
上主席树