逆元--除法取模

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定义

定义：如果 $a\ast x=1(modp)，且gcd(a,p)=1$（等价于a，p互质），那 x 就为模 p 意义下 a 的乘法逆元。

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用途

小定理：$(a/b)\%p=(a\ast x)\%p=1$；（x为模p意义下a的逆元）
证明：$a/b\ast b\ast x\equiv a\ast x(modp)且b\ast x=1(modp)$；
将除法转换成了乘法，就可以直接取模了。

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算法

扩展欧几里得求逆元

$a\ast x\equiv 1(modp)$
扩展欧几里德算法
在这篇博客举的例子就是关于上面这个公式的求解。
贴份代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    
    
	if(!b) {
    
    
		x = 1, y = 0;
		return ;
	}
	exgcd(b, a%b, x, y);
	ll temp = x;
	x = y;
	y = temp - a/b*y;
}
int main() {
    
     
	ll n, m, x, y;
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	exgcd(n, m, x, y);
	printf("%lld", (x%m + m)%m);
	return -0;
} 

费马小定理或欧拉定理

费马小定理：$p是素数，a是整数，gcd（a,p)\equiv 1(modp)=>a^{p-1}\equiv 1(modp)$
逆元定义： $a\ast x=1(modp)，且gcd(a,p)=1=>x是a在模p下的逆元$
可以看出$a^{p-2}$就是a在模p下的逆元
求个快速幂就行了。

ll Power(ll x, ll y) {
    
    
    ll n = y, ans = 1, res = x;
    while(n){
    
    
        if(n & 1) ans = ans * res % mod;
        n >>= 1;
        res = res * res % mod;
    }
    return ans%mod;
}

例题：Walk
题解：Walk–求组合数
用阶乘的乘除法求组合数，除法取模要用到逆元。
费马小定理只适用于p为素数的时候，当p不是素数时就可以用上欧拉定理了。

欧拉定理(Euler’s theorem)：$gcd(a,p)=1=>a^{\phi (p)}\equiv 1(modp)$
其中$\phi (p)$表示的是小于p且和p互质的数的个数。假如p是质数，那么$\phi (p)$就等于$p-1$，也就是上面的费马定理。
欧拉函数$\phi (p)$是有通式的（还不会），先贴份链接 欧拉函数的定义与计算

公式递推

用来求
已知$1的逆元1^{-1}=1$，我们将逆元存在inv数组中，inv[1] = 1。
设$k=p/i，r=p\%i$
$k\ast i+r=p=>k\ast i+r\equiv 0(modp)$，
在左右同乘 $i^{-1}$和$r^{-1}=>k\ast r^{-1}+i^{-1}=0$
所以$i^{-1}=-k\ast r^{-1}<=>i^{-1}=-(p/i)\ast (p\%i{)}^{-1}$
$(p/i)$是一个实数，$(p\%i{)}^{-1}$是小于在第i个逆元之前的逆元，按递推可以求得。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 100007;
ll inv[N] = {
    
    0, 1};
int main() {
    
    
	for(int i=2; i<=N; i++) {
    
    
		inv[i] = -(N/i) * inv[N%i];//递推关系
		inv[i] = (inv[i] % N + N) % N;//确保inv[i] > 0;
	} 
	for(int i=0; i<100; i++) {
    
    
		cout << inv[i] << ' ';
	} 
	return 0;
}