并行与分布式计算导论 练习题指导（三）

练习题指导

等效关系

等效关系反映了为了维持并行效率不变，增加处理器与增大问题规模这两个影响并行效率的因素间的关系
在问题的某个并行实现下，记$T(n,p)$为使用k个处理器计算规模为n的问题所需时间，$T_0(n,p)$为使用k个处理器计算规模为n的问题花在通信和冗余计算上的时间，问题的等效关系如下：
$$T(n,1)\ge C{T}_0(n,p)$$
其中$C=E/(1-E)$，$E$为并行效率。由于此后的计算关心的主要是函数的量级，不等式中不需要代入$E$
实际计算中，记原串行算法（也就是原本使用的baseline）的时间复杂度为$g(n)$，通讯时间复杂度为$h(n,p)$，可以简化为
$$g(n)\ge Ch(n,p)$$
其中，g和h可以直接用复杂度量级来替换，最高复杂度项的次数可以直接并入C
化简该不等式得到
$$n\ge f(p)$$
此即并行系统的等加速比关系

可拓展性函数

对于规模为n的问题，记$M(n)$为问题所需的内存，则该问题的并行实现的可拓展性函数为
$$M(f(p))/p$$
该函数表示，为了保持效率不变，每个处理器所需的内存容量如何作为p的函数增加

并行实现的可拓展性

具有较高量级可拓展性函数的并行实现，其内存增加速度更快，将更早抵达机器的实际内存，从而可拓展性较差；反之则较好