【算法笔记】4.2 散列（哈希）

• 这是《算法笔记》的读书记录
• 本文参考自4.2节

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1. 散列

（1）定义

1. 散列（hash）是一个常用思想，很多程序中都有意无意地会用到。 一句话说，散列就是 “将一个元素通过一个函数转换为整数，使得这个整数可以尽量唯一地代表这个元素”，这个转换函数称为 “散列函数 H”
2. 经过散列函数处理，我们就可以把元素本身作为一个key/索引/下标…，进而实现时间复杂度为O(1)的查询。所以散列本质上是用通过空间换时间，实现快速查询的一种算法

（2）关键问题

1. 散列函数H的设计：如何把原始数据集的每个元素映射到尽量互不相同的整数

   1. 直接定址法：H(key) = a*key+b
   2. 数字分析法：适用于key是多位整数的情况，取key的若干数位组成哈希地址
   3. 平方取中法：关键字平方后取中间几位
   4. 折叠法：把关键字分割成位数相同的几段，取这几段的叠加和
   5. …

2. 冲突的解决方法：当两个元素数据映射到同一个整数时，如何解决冲突

   1. 线性探查法：若H(key)位置已被占据，就检查H(key)+1是否为空，如果也被占据就继续检查H(key)+2，这样不断向后探查直到找到一个空位置，如果后移到数组尾部，则返回到数组首部继续。这种方法保证只要哈希表未满，总能找到一个不冲突的地址，但是容易产生聚集影响效率
   2. 二次探测再散列：线性探查法是向一个方向找， 二次探测再散列是来回找，移动序列为$1^2，-1^2，2^2,-2^2...$，这样不保证能找到不冲突地址，但不易发生聚集
   3. 伪随机探测再散列：和上两种类似，只是移动序列为随机序列
   4. 再哈希法：设定多个不同的散列函数，第一个函数计算发生冲突，就换第二个再算，直到不冲突为止
   5. 链地址法：这种方法不需要重新计算哈希值，而是把所有哈希值相同的key链接为一个单链表

3. 如何查找

   1. 一般的方法是：仿照建表过程，先用key计算H(key)作为下标，访问哈希表元素比较key，若不等，说明建表时发生了冲突，用建表时使用的冲突解决方法依次向后找，直到key比较相等为止

2. 整数的散列

• 整数本身就是散列的目标输出，因此散列函数可以简单地表示为H(key)=key（直接定址法）
• 举例来说，我们现在给出两个整数集合A和B，分别有M和N个元素，要判断B中的每个数是否在A中出现过
  1. 常规思路：二重遍历，时间复杂度O(M*N)
  2. 使用散列：开一个大数组，在输入A时，用A中整数元素作为数组下标，对数组做标记。判断时只要用B中整数元素作为数组下标查询数组即可，时间复杂度O(M+N)
• PAT乙级中 “翻转链表” 这个题的正解就运用了整数散列的思路，否则一定会超时：反转链表 (25)

3. 其他数据类型的散列

• 上面第一部分的散列方法基本都是针对于整数key而言的，要应用到其他数据类型，可以先简单地把数据转换为整数，再用上述方法，或者转换为整数后直接作为key。要注意的是，散列函数和冲突解决方法的设计都会影响效率
• 举例来说，要设计一个英文单词的哈希函数，可以把大写字母转换为0~25，小写字母转换为26~51，这就相当于把一个英文单词转换为52进制数，直接转10进制就可以作为key了

4. 编程中的应用

• 做编程题时往往不会自己写散列函数和冲突处理什么的，而是采用STL提供的工具。map和unordered_map（C++11）都可以用于散列