[CF1028E]Restore Array

题目

传送门 to luogu

思路

由于是余数，所以我们的限制很宽松，故而构造很容易。假如我们已经确定了一个 $a_i$ ，那么 $a_{i-1}$ 也很容易构造出一个，无非是 $ka_i+b_{i-1}$ 的形式。但是！能够构造成功有一个充要条件：

一定要 $a_i>b_{i-1}$ 才行，余数不能比除数大！为了让该条件始终满足，我们在构造时使得 $a_{i-1}>b_{i-2}$ 即可，而这是容易做到的。

继续思考，一定存在一个 $a_i<a_{i+1}$ 。为何？反证法易得。毕竟这是一个环，不可能单调，除非全相同。所以我们知道，一定存在一个 $a_i=b_i$ ，或者所有 $b$ 都是 $0$ 。第二种情况特判，忽略它。第一种情况，应该是哪一个 $a_i=b_i$ ，能够让我们成功构造呢？

是 $a_i>b_{i-1}$ 即 $b_i>b_{i-1}$ 的那一个。这是由前面的充要条件得到的。

会不会所有 $b$ 都相等？只有全 $0$ 可以。其他情况下都不行。原因就是上面的那点：一定 存在一个 $a_i=b_i$ 。但是它前面的一个无法满足题意——无论 $i$ 是谁。

最后构造出来就很简单了。每次尽量都让 $a$ 较小，能够满足条件，因为每次最大是 $a_{i-1}=b_{i-2}+a_i$ ，也就是 $b$ 的累加罢了。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
inline int readint(){
	int a = 0; char c = getchar(), f = 1;
	for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; '0'<=c&&c<='9'; c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
template < class T >
void getMax(T&a,const T&b){if(a<b)a=b;}
template < class T >
void getMin(T&a,const T&b){if(b<a)a=b;}

const int MaxN = 140582;
int b[MaxN<<1], n;
long long a[MaxN<<1];

int main(){
	n = readint(); int st = -1;
	for(int i=0; i<n; ++i)
		b[i] = b[i+n] = readint();
	for(int i=n; i<n*2; ++i)
		if(b[i-1] < b[i])
			a[i] = b[i], st = i;
	if(st == -1) // 全相同
		if(!b[n]) // 全为0
			for(int i=0; i<n; ++i)
				a[i] = 1;
		else{ puts("NO"); return 0; }
	else{
		for(int i=st-1; i>st-n; --i){
			a[i] = b[i-1]/a[i+1]*a[i+1]+b[i];
			if(a[i] <= b[i-1]) a[i] += a[i+1];
		}
		for(int i=n; i<2*n&&a[i]; ++i)
			a[i-n] = a[i];
	}
	puts("YES");
	for(int i=0; i<n; ++i)
		printf("%lld ",a[i]);
	return 0;
}